【七下HK数学】安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份【七下HK数学】安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．82.3×10﹣8B．8.23×10﹣7
C．823×10﹣9D．0.823×10﹣6
2．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．1﹣a＜1﹣bB．﹣2a＞﹣2bC．a2＞b2D．a﹣2＜b﹣2
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．x2•x4＝x8C．x6÷x3＝x2D．
6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．8B．4C．±4D．±8
7．（3分）如果（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数
C．a＝b且b＝0D．ab＝0
8．（3分）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．3
9．（3分）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有20%的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（ ）
A．4.5B．4.8C．5D．6
10．（3分）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形，其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则S长方形ABCD是（ ）
A．10B．20C．40D．80
二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11．（3分）9的算术平方根是 ．
12．（3分）数轴上点A表示，点B表示1，则线段AB的长度是 ．
13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝ ．
14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝ ．
15．（3分）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．则对于任意的实数x，[1+x]+[2﹣x]的值为 ．
三、（本大题共两题，满分14分）
16．（8分）（1）计算；
（2）化简x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
17．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
四.（本大题共两题，满分12分）
18．（6分）先化简，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．
19．（6分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
五、（本大题共两题，满分17分）
20．（9分）观察下列关于自然数的等式：
4×22﹣32＝7①
4×32﹣52＝11②
4×42﹣72＝15③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4× 2﹣92＝ ；
（2）请写出第1010个等式： ；
（3）写出第n个等式（n为正整数），并验证其正确性．
21．（8分）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为 ；
（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形；
（3）请你设计一个几何图形，并解释：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
六、（本大题满分12分）
22．（12分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）
1．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．82.3×10﹣8B．8.23×10﹣7
C．823×10﹣9D．0.823×10﹣6
【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣5，
故选：B．
2．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
【解答】解：A、＝2，故该选项不符合题意；
B、是分数，故该选项不符合题意；
C、1.010010001，故该选项不符合题意；
D、π是无理数．
故选：D．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝6，故此选项不符合题意；
B、±＝±4，故此选项符合题意；
C、＝＝5，故此选项不符合题意；
D、没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．1﹣a＜1﹣bB．﹣2a＞﹣2bC．a2＞b2D．a﹣2＜b﹣2
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，故本选项符合题意；
B．∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣2b，故本选项不符合题意；
C．不妨设a＝1，
∵72＜（﹣2）3，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．x2•x4＝x8C．x6÷x3＝x2D．
【解答】解：A选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝x4，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2；
故选：D．
6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．8B．4C．±4D．±8
【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±7）2，
x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±6；
故选：D．
7．（3分）如果（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数
C．a＝b且b＝0D．ab＝0
【解答】解：原式＝x2+（a+b）x+ab，
由结果中不含x的一次项，得到a+b＝0，
则a，b一定互为相反数，
故选：B．
8．（3分）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．3
【解答】解：∵﹣2x﹣a＞﹣1，
∴﹣5x＞a﹣1，
则x＜，
由数轴知x＜﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝3，
故选：D．
9．（3分）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有20%的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（ ）
A．4.5B．4.8C．5D．6
【解答】解：设超市售价定为x元，由题意得：
（1﹣20%）x≥4，
解得：x≥8，
故选：C．
10．（3分）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则S长方形ABCD是（ ）
A．10B．20C．40D．80
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，
由题意得：πa+πb＝16π，π×＝44π．
∴a+b＝16，a2+b4＝176．
∵（a+b）2＝a2+b6+2ab．
∴256＝176+2ab．
∴ab＝40．
∴S长方形ABCD＝40．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11．（3分）9的算术平方根是 3 ．
【解答】解：∵32＝6，
∴9的算术平方根是3，
故答案为：3．
12．（3分）数轴上点A表示，点B表示1，则线段AB的长度是 1+ ．
【解答】解：∵点A表示，点B表示1，
∴线段AB的长度是：|4+|＝1+，
故答案为：1+．
13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝ ．
【解答】解：a2m﹣n
＝
＝
＝．
故答案为：．
14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝ 6 ．
【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣2）＝35，
设a2+b2＝x，则原方程化为：（x+4）（x﹣1）＝35，
x2﹣5＝35，
x2＝36，
x＝±6，
∵不论a、b为何值，a8+b2不能为负数，
∴a2+b2＝﹣6舍去，
即a2+b2＝6．
故答案为：6．
15．（3分）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．则对于任意的实数x，[1+x]+[2﹣x]的值为 1或2 ．
【解答】解：设|x|的小数部分为b，则x＞0时，x＜0时，
当x＜﹣2时，1+x＜0，
则[2+x]＝1+x﹣1+b＝x+b，[8﹣x]＝1﹣x﹣b，
∴[1+x]+[7﹣x]
＝x+b+1﹣x﹣b
＝1；
当x＝﹣5时，1+x＝0，
∴[6+x]+[1﹣x]
＝0+2
＝2；
当﹣1＜x＜8时，则0＜1+x＜8，
∴[1+x]+[1﹣x]
＝3+1
＝1；
当x＝5时，1+x＝1，
∴[5+x]+[1﹣x]
＝1+8
＝2；
当0＜x＜7时，1＜1+x＜4，
∴[1+x]+[1﹣x]
＝7+0
＝1；
当x＝6时，1+x＝2，
∴[2+x]+[1﹣x]
＝2+2
＝2；
当x＞1时，4+x＞2，
则[1+x]＝1+x﹣b，[1﹣x]＝1﹣x﹣（2﹣b）＝﹣x+b，
∴[1+x]+[1﹣x]
＝1+x﹣b﹣x+b
＝1；
由上可得，[1+x]+[2﹣x]的值为1或2，
故答案为：1或2．
三、（本大题共两题，满分14分）
16．（8分）（1）计算；
（2）化简x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣2
＝﹣；
（2）原式＝x3﹣4x8+x2
＝﹣2x8．
17．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
【解答】解：解不等式2（x+2）＞2，得：x＞1，
解不等式，3x≤x+2，
在同一条数轴上表示不等式组的解集，如下，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
四.（本大题共两题，满分12分）
18．（6分）先化简，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．
【解答】解：原式＝m2+4m+8+2m2﹣8m﹣m+1﹣（m2﹣4）
＝m2+4m+4+2m2﹣5m﹣m+1﹣m2+7
＝2m2+m+8，
当m＝﹣3时，原式＝2×（﹣7）2﹣3+7＝21．
19．（6分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
【解答】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴（a﹣5）+（2a+15）＝0，
解得：a＝﹣5，
∵b的立方根是﹣3，
∴b＝﹣27，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．
五、（本大题共两题，满分17分）
20．（9分）观察下列关于自然数的等式：
4×22﹣32＝7①
4×32﹣52＝11②
4×42﹣72＝15③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4× 5 2﹣92＝ 19 ；
（2）请写出第1010个等式： 4×10112﹣20212＝4043 ；
（3）写出第n个等式（n为正整数），并验证其正确性．
【解答】解：（1）因为4×25﹣32＝2；
4×38﹣52＝11；
4×42﹣52＝15；
…，
观察各部分的变化规律可知，
第n个等式可表示为：4（n+8）2﹣（2n+8）2＝4n+8（n为正整数），
当n＝4时，
4×32﹣93＝19，
即第四个等式为4×54﹣92＝19．
故答案为：5，19．
（2）由（1）知，
当n＝1010时，
4×10112﹣20216＝4043，
即第1010个等式为：4×10112﹣20214＝4043．
故答案为：4×10112﹣20217＝4043．
（3）由（1）知，
第n个等式可表示为：4（n+1）6﹣（2n+1）3＝4n+3（n为正整数）．
证明如下：
左边＝2（n2+2n+3）﹣（4n2+3n+1）
＝4n2+8n+4﹣3n2﹣4n﹣5
＝4n+3
＝右边，
故此等式成立．
21．（8分）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形；
（3）请你设计一个几何图形，并解释：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【解答】解：（1）在图2中，大正方形的边长为a+b2，
组成大正方形的5个部分的面积和为a2+2ab+b7，
所以有（a+b）2＝a2+7ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a6+2ab+b2；
（2）如图5所示：整体大长方形的长为x+p，宽为x+q，组成长方形的4个部分的面积和为x2+（p+q）x+pq，因此有（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
（3）如图4，把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，因此可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b6．
六、（本大题满分12分）
22．（12分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．
根据题意得：，
解得：，
答：购进3件甲种农机具1.5万元，2件乙种农机具0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：4.8≤m≤4．
∵m为整数．
∴m可取5、6、4．
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具8件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为w万元．
w＝1.5m+2.5（10﹣m）＝m+5．
∵k＝4＞0，
∴w随着m的减少而减少，
∴m＝5时，w最小＝8×5+5＝10（万元）．
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，
由题意得：（7.5﹣0.8）a+（0.5﹣6.2）b＝0.3×5+0.2×5，
其整数解：或，
∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具7件．