【数学】广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）

这是一份【数学】广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版），共12页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等比数列中，，，则与的等比中项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
2. 已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；
在点的右侧附近，，此时，排除A，
所以函数的图象可能是C．
故选：C
3. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ）
A. 480种B. 1200种C. 2400种D. 5040种
【答案】C
【解析】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.
根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.
故选：C.
4. 已知数列满足，，则（ ）
A.510B. 512C. 1022D. 1024
【答案】B
【解析】由,得
，
，
，
，
以上各式相加得，
，
所以，所以.
故选：B.
5. 若直线为函数且的图象的一条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设切点为，
因为且，
则，
由导数的几何意义可得，
所以，即，故，
所以，解得，
故选：B.
6. 已知函数在处取得极小值10，则的值为（ ）
A. 2或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】 ， ，
又 在 处取得极小值10，
则有 ，可得 ，
解得， 或，
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极小值；
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极大值，不合题意.
所以，， 则有
故选：C.
7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同安排方法种数为（ ）
A 72B. 96C. 114D. 124
【答案】C
【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
8. 设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，由得，
所以.令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，
则由,
即且，得.
故选：A.
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ）
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有128种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
【答案】ACD
【解析】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，A正确；
对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误；
对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，
先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确；
对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，
另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．
故选：ACD
10. 若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若数列是递增数列，则，
B. 若数列是递减数列，则，
C. 若，则
D. 若，则是等比数列
【答案】ABC
【解析】若数列是递增数列，也可以，，故选项A错误；
若数列是递减数列，也可以，，故选项B错误；
若，则，所以选项C错误；
，，
所以是等比数列，故选项D正确
故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（ ）
A. B.
C. 在上是增函数D. 存在最小值
【答案】ABC
【解析】设，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
A选项，因为，所以，即，A正确；
B选项，因为，所以，即，B正确；
C选项，，则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函数，C正确；
D选项，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值.
故选：ABC
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______．
【答案】8
【解析】由，而，
所以，故等差数列递减，
所以，对于等差数列，要使最大n值为8.
故答案为：8
13. 某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有___________种（用数字作答）.
【答案】
【解析】依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，
在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，
所以有种分配方法.
故答案为：
14.设函数,其中,若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
故，
而当时，，，
故当且，解之得
故答案为：．
四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
16. 已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
解：（1）由①
所以当时，②
①②得：，
整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
17. 如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
解：（1）由题意可得：
（2），由解得
在上递增，
列表如下：
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
18. 设数列的前项和为，，且.
（1）设，求证数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，即，，
，①
，②
①-②，得，
所以；
（3）不等式即为，化简得，对任意恒成立，
令，则，
所以时，，即；
时，，即；
时，，即；
所以，
所以的最大项为，
所以.
19. 已知函数，其中．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值．
(2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围．
(3)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
解：(1)函数定义域为，
，
依题意：，解得；
(2)由(1)知，，
令，则，
时，时，即在上递减，在上递增，时，
即，所以a的取值范围是；
(3)，，
令，则，
令，则
令，则，
即在(0，1]上递减，而，
存在有，时，
即，时，即，
于是在上递增，在上递减，而，
则时，
时，则(0，1]上递增，，
即，
所以a的取值范围是0
+
单调递减
最小值
单调递增