广东省佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A．B． C．，2，D．
2．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）．
A．B．C．D．
3．直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
4．已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知圆与圆外切，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为B．直线的斜率为
C．直线不经过第三象限D．直线的一个方向向量为
10．已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，为互斥事件，则B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则D．若，相互独立，则
11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则的最大值为
D．满足的点的轨迹长度为
三、填空题
12．直线与间的距离为
13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
14．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则

四、解答题
15．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
16．已知点，点，直线过点且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)求直线关于直线的对称直线的方程.
17．甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立.
(1)若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
(2)若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
19．如图，四棱锥中，，．
(1)证明：平面；
(2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】A，，错误.
B，，错误.
C，，正确.
D，，错误.
故选：C
2．D
【详解】5个球中随机摸出2个球，共有：
共10种情况，
两个球的数字之和是奇数有共6种情况，
所以两个球的数字之和是奇数的概率是.
故选：D
3．B
【详解】，即，
当时，解得，
故该直线过定点，
故选：B.
4．B
【详解】若，则有，解得，
当时，，不重合，符合要求；
当时，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．C
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆外切，得，则，
所以.
故选：C
6．C
【详解】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C
7．B
【详解】设，变形得，
于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率，
圆的圆心为，半径为，
由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点，
因此圆心到直线的距离不大于圆的半径，
则，解得，
所以的最小值为.
故选：B
8．A
【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面，
因为平面，所以，
因为在正四面体中，是等边三角形，
则，是的中心，
则，
由题意得，则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，，
所以，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，所以.
故选：A.
9．CD
【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；
因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故选：CD
10．ACD
【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确;
对于B：若，为互斥事件，则，
所以，故B错误；
对于C：若，相互独立，所以与相互独立，
所以，故C正确；
对于D：若，相互独立，，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．AD
【详解】对于A选项，因为平面平面，平面，
所以点到平面的距离等于，
因为四边形是边长为的正方形，故，
因此为定值，A对；
对于B选项，取的中点，的中点，连接．
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、．
设，其中、，则，，
，
因为，所以，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，，
所以，即，
因为，所以，
故当时，的最大值为，C错；
对于D选项，，，
由得，即，
又因为、，所以、，
所以点的轨迹为平面内的线段，
即图中的线段，由图知，
故满足的点的轨迹长度为，D正确．
故选：AD.
12．/
【详解】将直线化为，
所以两平行直线间的距离.
故答案为：.
13．
【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以，
故答案为：.
14．
【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则,，
设面的一个法向量,
则,即，
令得，
因为平面，所以,即，
所以得，
,所以，
因为，所以．
故答案为：．
15．(1);
(2).
【详解】（1）
如图建系，根据已知条件可得：，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
则点到平面的距离；
（2）由平面的法向量为，平面的法向量为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”.
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥，
所以.
（2）设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”.
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
18．(1) ；
(2)或；
(3).
【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1）在平面ABCD中，因为，，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为AC中点，
故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，
又因为，所以，故，所以，
所以，又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，
所以，所以，所以
又因为，，且，
所以，所以或
当时，，
当时，，