重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高二上学期期中联合诊断性测试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高二上学期期中联合诊断性测试数学试卷（解析版），共99页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】化直线为，所以直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，，.
故选：C.
2. 已知向量，向量，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，且，则，解得.
故选：C.
3. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在椭圆中，，，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
4. 已知点，点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，圆心为线段的中点，
圆的半径为，
因此，所求圆的方程为.
故选：B.
5. 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量，
对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误；
对于B：因，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误；
对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误；
对于D：假设，，共面，则，
可得，方程组无解，可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确；故选：D.
6. 已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
7. 如图，在平行六面体中，，，
，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，
，所以，向量、、两两夹角为，
由空间向量数量积的定义可得，
同理可得，因为，
故
，
因此，.故选：D.
8. 已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
则，
当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 直线过定点
C. 若，则
D. 当时，直线不经过第二象限
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，由可得，即直线过定点，B错；
对于C选项，若，则，解得，C对；
对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错.故选：AC.
10. 圆和圆的交点为、，则有（ ）
A. 公共弦所在的直线方程为
B. 线段的中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为原点，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，将两圆方程作差可得，
所以，公共弦所在的直线方程为，A对；
对于B选项，因为，，，
所以，，则，
又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，
，所以，直线的方程为，即，
故线段的中垂线方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对.
故选：ABD.
11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线AP与所成角的取值范围是
C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，，
则，即，令，则，则得，
面与平面所成夹角为，所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则
，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线与直线的交点坐标为______.
【答案】2,3
【解析】联立，解得，因此，直线与直线的交点坐标为.故答案为：.
13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为______.
【答案】
【解析】由椭圆方程可知：，
因为分别为的中点，则，可得，
因为，则，且，
所以的面积为.
故答案为：.
14. 在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为______.
【答案】
【解析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点、，其中、，
易知、，则，，，
因为、、共面，则存在、，使得，
即，解得，所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，、、，线段的中点为，且.
（1）求实数的值；
（2）求边上的中线所在的直线方程.
解：（1）由题意，直线的中点为，则，
因为，则，即，解得.
（2）由（1）知点，线段的中点为，所以，，
所以，边上的中线所在的直线方程为，即.
16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面，平面，则，
因为，即，
因为，、平面，故平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程.
解：（1）由题意可知：，则，所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线：，

联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，
则，解得，所以直线的方程为，即.
18. 已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

（1）求证：；
（2）在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：取的中点，连接，

因矩形ABCD，，，所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）
解：作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若Ax1,y1，Bx2,y2，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点F1-c,0，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为Px,y.
（1）已知，，求的值；
（2）分别求，的取值范围；
（3）若，，求“新椭圆”围成的面积.
解：（1）因为，，所以.
（2）设“新椭圆”上任意一点为，
根据“新椭圆”的定义，可得，即，
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；
作出“新椭圆”图象，如图所示，
结合图象可知：的取值范围为-a,a；的取值范围为.
（3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为，
若，，由（2）可知：，
所以“新椭圆”围成的面积为.