2022-2023学年重庆市渝东六校共同体高二上学期联合诊断数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市渝东六校共同体高二上学期联合诊断数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市渝东六校共同体高二上学期联合诊断数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角.【详解】由，得，设直线的倾斜角为，则，，故选：D.2．已知向量，且与互相平行，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，因为与平行，若，则，，若，则，无解．综上，，故选：D．3．已知椭圆的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于8，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由椭圆定义分别求出a、c，直接求出离心率.【详解】由椭圆定义得，又，∴.故选：B4．已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得直线为，再由点到直线距离公式解决即可.【详解】由题知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，所以直线的斜率为，所以直线为，即，因为所以，故选：B5．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点F，连接，，，可得到，则或其补角为AC与DE所成的角，再通过余弦定理求出其余弦值，即可得到答案【详解】解：取的中点F，连接，，，则因为点E，F分别为，的中点，所以，所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，故选：C6．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程.【详解】设所求圆的方程为，则，则圆心坐标为，代入直线，可解得.故所求圆的方程为，即.故选：A.7．椭圆，为椭圆的一个焦点，长轴长是短轴的倍，椭圆上存在一点P与关于直线对称，则椭圆的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分别讨论焦点在不同坐标轴时的情况，由长轴长是短轴的倍化简椭圆方程，设，利用P与关于直线对称、P为椭圆上的点列出方程组求解即可.【详解】（1）当焦点在x轴上时，得，∴，椭圆的方程为，由椭圆上存在一点与关于直线对称，则为左焦点，则中点，则，解得，代入椭圆方程解得，，故椭圆方程为；（2）当焦点在y轴上时，得，∴，椭圆的方程为，由椭圆上存在一点与关于直线对称，则为上焦点，则中点，则，解得，代入椭圆方程解得，，故椭圆方程为.故选：C．8．在平面直角坐标系中，圆，点T在直线上运动，若圆C上存在以为中点的弦，且，则点T的纵坐标的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由为的中点，且得为直角三角形，，而对点而言最大时，是圆的切线，题意说明过点向圆引的两条切线的夹角不小于，求出是圆的切线且时线段的长，只要圆心到点的距离不大于这个长度即可满足题意，由此可得．【详解】为的中点，且，为直角三角形，，若，为切线，且，则，在中  则，过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，则圆心到的距离不大于，即解得. 故选：C. 二、多选题9．对于直线和直线，以下说法正确的有（    ）A．直线一定过定点 B．若，则C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最大值为5【答案】ABD【分析】对于A，求定点即可；对于B，线线垂直时；对于C，线线平行时；对于D，过定点，直线与点和的连线垂直时取最值.【详解】直线，即直线为，所以直线过定点，故A正确；当时，，解得，故B正确；当时，，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故C错误；因为直线，即，过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确.故选：ABD10．已知曲线，则（    ）A．当时，则的焦点是B．当时，则的渐近线方程为C．当表示双曲线时，则的取值范围为(-2，4)D．存在实数，使表示圆【答案】BC【分析】根据双曲线的的几何性质解决即可.【详解】对于A，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，其中，所以焦点是，故A错误；对于B，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，其中，所以渐近线方程为，故B正确；对于C，当表示双曲线时，，解得，故C正确；对于D，使表示圆时，，无解，所以不存在实数，使表示圆，故D错误.故选：BC11．已知圆C：，直线:．下列命题正确的有（    ）A．直线与圆C可能相切B．轴被圆C截得的弦长为C．直线被圆C截得的最短弦长为4D．若直线与圆相交于A，B两点，面积的最大值为【答案】BCD【分析】首先确定直线所过定点的坐标，确定在圆内，从而易判断A，求出圆与的轴的交点坐标易得弦长判断B，利用圆心与定点的连线与直线垂直时，弦长最小求得最小弦长判断C，由确定面积公式结合正弦函数性质判断D．【详解】直线:，则无论k为何值，直线过定点．因为，则点在圆的内部，直线与圆相交，故A错误；令y=0，则，解得：，故圆被x轴截得的弦长为，故B正确；圆心，半径为3，，当截得的弦长最小时，，最短弦长为，故C正确；当，即弦长最短时，取得最小值，最小值为，，，从而，当直线过圆心时，，因此可以取得，所以的面积为，时，取得最大值．故D正确.故选：BCD.12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）A．当平面时，不可能垂直B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]D．当时，的最小值为【答案】BD【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，D对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论. 三、填空题13．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的一般方程为______．【答案】【分析】由直线方程得倾斜角的正切值，再由正切的二倍角公式求得新直线的斜率，从而得直线方程．【详解】设直线的倾斜角是，则，∴所求直线的斜率为，的方程为，即．故答案为：．14．以椭圆的右焦点F为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________.【答案】【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，长半轴长即得圆心坐标和半径，从而得圆方程．【详解】圆中，，，，右焦点为，圆半径等于，所以圆方程为．故答案为：．15．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ .【答案】3【分析】以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法求点线距．【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，是等边三角形，点在直线上的射影在边上（靠近的四等分点），由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，∴为锐角，，为异面直线与所成角，即.在菱形中，，， ，．设，则，，，，，，，点到直线的距离为.故答案为：3.16．在平面直角坐标系中有两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数的最小值为_______．【答案】5【分析】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则.设，则，，因为动点P满足，即，则，即，又因为时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，即圆与圆相离或外切或内切或内含，如图，所以或，解得（舍去）或，所以实数的最小值为5．故答案为：5. 四、解答题17．在中，已知点，，．(1)求BC边上中线的方程．(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）求出BC中点坐标，即可直接写出方程；（2）若直线过原点，直接写出方程；若直线不过原点，设y轴上截距为m，写出截距式，代入B点即可解得参数.【详解】（1）BC中点，即，故BC边上中线的方程为，即；（2）直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，i. 若直线过原点，则直线方程为，即；ii. 若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，代入B点解得，故直线方程为，即；故该直线的一般式方程为或.18．如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，AB⊥AC，M，N，P分别为，BC，的中点．(1)求证：PN∥面；(2)求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）法一，向量为平面的法向量，由向量法证，则可证平面.法二，由线线平行证平面，平面，即可证平面平面，即可证平面；（2）由向量法求二面角的余弦值即可.【详解】（1）方法一：以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，．取向量为平面的一个法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面；方法二：设D为的中点．∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，平面，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面．（2）以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，取向量为平面的一个法向量，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，则，∴，∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．19．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.(1)求线段的长度；(2)求顶点的轨迹方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.【详解】（1）椭圆的方程为，椭圆的方程为，分别为椭圆的左焦点和右焦点，，，线段的长度；（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，，，,．点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，设该双曲线方程为且，顶点的轨迹方程为20．已知平面内动点与点，的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程.(2)已知点为第三象限内一点且在轨迹上，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设，利用斜率公式得到方程，整理即可得解.（2）设，表示出直线的方程，令求出，同理求出，即可得到，通分计算可得.【详解】（1）解：设，由题意得，整理得.（2）解：设，则，，.   因为，所以直线，令，则， 同理，，所以，即四边形的面积为定值.21．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.(1)证明：；(2)若平面平面，在线段PD上是否存在点M，使得二面角的余弦值为，如果存在，求直线与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）由线线垂直证平面，再证线线垂直即可；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，由向量法求出平面及平面的法向量，进而由二面角的余弦值列出方程解得参数，直线与平面所成角的正弦值为.【详解】（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知. 又平面平面，交线为，平面，所以平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，则，设平面的一个法向量为，可得，则，令得，由（1）知平面，则取平面的一个法向量，由得，平面的法向量为，又，设直线与平面所成角为，则.22．已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．（i）求的取值范围；（ii）求面积的最大值．【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合椭圆过点，离心率，即，，的关系即可求解；（2）（i）可设的斜率为，则的斜率为，从而得到直线，的方程，由与圆相切于点，可得到，由与椭圆相交于不同的两点，，联立方程组，得到，由，即可求解；（ii）设，，结合韦达定理可得，，从而得到，再根据点到直线的距离公式可得到到直线的距离，即可表示出的面积，从而求解.【详解】（1）由题意，，解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设的斜率为，则的斜率为，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，与圆相切于点，，化简得，由得，，，化简得，，由得，，代入上式化简得，，解得，又，则，得，所以的取值范围是.（ii）设，，由（1）可知，，，又，又原点到直线的距离，面积，设，则，由以及得，所以当时，面积取最大值.所以面积的最大值是.