第14讲 用一次函数解决问题与二元一次方程-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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知识点1 用一次函数解决问题
一、利用一次函数解决代数型实际问题
这类问题主要是利用一次函数的模型。问题中往往并没有明确告知函数类型或一次函数图像，因此需要根据实际问题从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的性质求解。同时要注意自变量的取值范围，使实际问题有意义。
二、利用一次函数图像解决图像型实际问题
这类问题通常涉及到一次函数的图像，需要根据图像信息来求解问题。例如，可以通过观察图像来确定一次函数的增减性，进而求解最大值或最小值问题。同时，也可以利用图像来比较不同函数值的大小，解决优化问题等。
三、建立一次函数模型解决实际问题的步骤
1、审题：仔细审题，理解题意。
2、找关系：找出实际问题中的变量和常量，明确它们的关系。
3、列表达式：建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围。
4、求解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，即解方程的过程。
5、检验：检验结果，得出符合实际的结论。
四、一次函数模型的应用方法
1、函数应用题通常是以贴近现实生活的话题为背景，运用函数知识来解决的一类问题。这类问题要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决。
2、方案的选取是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目。其实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题。
3、在求函数的最值时，应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。这在实际问题中非常有用，如利润最大、成本最小等问题。
知识点2 一次函数与二元一次方程
一、一次函数与二元一次方程的关系：
一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上。
二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量。
二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系。
二元一次方程的解要用“{”写起来，一次函数图像上的点用坐标表示。
二、一次函数与二元一次方程组的联系：
一般地，如果两个一次函数图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图像的交点。
用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法。
三、图像法求二元一次方程组解的一般步骤：
变函数：把方程组化为一次函数。
画图像：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图像。
找交点：由图像确定两直线交点的坐标。
写结论：依据点的坐标写出方程组的解。
考点一、把二元一次方程写成一次函数的形式
1．已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．
通过移项，等式两边同时除以2，即可求解．
【详解】解：
，
∴，
故选：D．
2．已知二元一次方程，则用x表示y的式子为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握等式的性质是解题的关键．首先移项，得到再把的系数化为，得到．
【详解】解：移项，得，
系数化，得．
故选：C．
3．已知方程，那么用含y的式子表示x正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知，求出x即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
考点二、两直线的交点问题
1．在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可．由题意可得，再解方程组即可．
【详解】解：联立，
解得：
∴交点坐标为，
故选：B
2．一次函数与交于点C，则C点坐标为 ．
【答案】
【分析】解方程组，即可得到结论．本题考查了两直线平行与相交问题，解二元一次方程组，正确的求得方程组的解是解题的关键
【详解】解：∵一次函数与交于点C，
∴，
得，
，
故答案为：
3．如图，函数的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线经过点和点，直线，相交于点M．
(1)求点M的坐标；
(2)求的面积
(3)点N在直线上，使得，求N点的坐标；
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可．
（2）连接，先求出点C的坐标，然后根据求出结果即可；
（3）根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式：，
将点和点代入中得：，
解得：，
∴直线的表达式，
联立，
解得，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，
∴
．
（3）解：连接，，如图所示：
把代入得：，
解得：，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴或，
当时，，此时点N的坐标为，
当时，，此时点N的坐标为，
综上可知：或．
考点三、图像法解二元一次方程组
1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），
∴方程组的解是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
2．如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】由图像可知交点的坐标就是方程组的解．
【详解】解：有图像可知的解为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用一次函数的交点解二元一次方程组．理解方程组的解与函数图像交点之间的关系是解决问题的关键．
3．已知一次函数与．
(1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象；
(2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标；
(3)根据图象，写出方程组的解．
【答案】(1)画图见解析；
(2)，；
(3)．
【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解；
（）当时，，，即可求出，两点的坐标；
（）根据图象即可求出方程组的解；
本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：列表：
如图，
（2）解：当时，，，
∴，；
（3）解：根据图象可知：方程组的解为．
考点四、一次函数的解决问题——利润问题
1．五月的昆明沉浸在一片紫色的花海中，众多游客乘坐“蓝花楹专列”欣赏美景，拍照打卡．某文创销售店看准商机，推出“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”两种文创产品．已知销售店老板购进2个“蓝花楹棉布袋”和4个“蓝花楹笔记本”一共需要100元；购进3个“蓝花楹棉布袋”和2个“蓝花楹笔记本”一共需要90元．
(1)分别求每个“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”的进货价格；
(2)该销售店计划购进两种文创产品共100个，且“蓝花楹棉布袋”的数量不超过“蓝花楹笔记本”数量的一半．若每个“蓝花楹棉布袋”的售价为40元，每个“蓝花楹笔记本”的售价为30元，则购进多少个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为元，每个“蓝花楹笔记本“的进货价格元
(2)购进个“蓝花楹棉布袋时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设未知数，再结合题意，列出二元一次方程，再解得，即可作答．
（2）先设购进m个“蓝花楹棉布袋”，“蓝花楹笔记本”时，销售这批模型的利润为w元．再列式得，结合一次函数的性质进行作答即可．
【详解】（1）解：设每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为x元，每个“蓝花楹笔记本的进货价格为y元．
由题意得，
解得，
答：每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为20元，每个“蓝花楹笔记本”的进货价格15元．
（2）解：设购进m个“蓝花楹棉布袋”，“蓝花楹笔记本”时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．
由题意得，，，
解得，，
∵，
∴w随m的增大而增大．
由题意知，m取整数．
∴当时，w最大值（元）
答：当购进33个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为1665元．
2．为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元．
(1)请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价．
(2)若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？
【答案】(1)移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元
(2)共有三种购买方案，分别是：（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040
【分析】（1）设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副，根据题意求出m的取值范围，利用m的整数解求出方案，并利用一次函数求出最值即可．
【详解】（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元．
（2）解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副．
根据题意，得，
解得，
为非负整数，
，14，15，
当时，（副），
当时，（副），
当时，（副），
共有三种购买方案，分别是：
（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，
（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，
（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；
设购买的费用是W元，则，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，14，15，
∴当时W值最小，，
∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元．
3．每年五月的第二个星期天是母亲节，为弘扬孝亲美德，厚植感恩情怀，昆明某学校准备采购康乃馨和萱草花，用于举办“浓情五月·致敬母爱”主题教育活动，经调查，购进康乃馨的总费用y元与购进康乃馨数量x之间的函数关系如图所示．
(1)当和时，求y与x之间的函数关系式．
(2)现学校准备购进康乃馨和萱草花两种鲜花共150束，已知萱草花每束22元，若购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，购进两种鲜花的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买康乃馨和萱草花两种鲜花才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【答案】(1)
(2)当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元
【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先根据购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，求出，然后求出购进两种图书的总费用，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
；
当时，设，
将、分别代入解析式，
得，
解得，
，
综上，；
（2）解：购进康乃馨的数量为束，则购进萱草花的数量为束，
根据题意得，
解得：，
购进两种图书的总费用，
，
随的增大而减小，
当时，
有最小值，元，
（束），
当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，求一次函数解析式，解题的关键是关键是根据题意列出函数解析式．
考点五、一次函数的解决问题——行程问题
1．小绍和小兴相约去礼品店选择母亲节礼物．小绍从甲小区骑摩托车出发．同时，小兴从乙小区开车出发，途中他去鲜花店购买鲜花后，按原来的速度继续去礼品店．已知甲、乙小区，鲜花店和礼品店之间的路程如图1所示．他们离甲小区的路程（）关于时间（）的函数图象如图2所示．
(1)则摩托车的速度为______；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)求两人在鲜花店至礼品店的路上相遇的时间及此时离礼品店的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键；
（1）根据函数图象，利用路程除以时间，即可求解；
（2）设线段所在直线表达式为，将，和，代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）由（1）可得线段所在直线：，令，解得，进而求得此时离礼品店的距离．
【详解】（1）解：根据函数图象可得：摩托车的速度为；
故答案为：．
（2）小兴的速度：，
当时，，
设线段所在直线表达式为，
将，和，代入得：
，
解得：，
（3）由（1）可得：线段所在直线：，
，
解得：，
当时，，
．
答：当时两人相遇，离礼品店处．
2．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到地，甲车出发1小时后乙车从地出发，沿公路行驶到地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)A、C两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍．
【答案】(1)；；
(2)
(3)小时或小时
【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可；
（2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图像可知，A、C两地的距离为，
B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为，
∵乙车比甲车早小时到达目的地，
∴甲车行驶总时间为，
∴甲车行驶速度为．
故答案为：420；100；60；
（2）由（1）可知，甲车行驶速度为，
则点的纵坐标为，即，
两车相遇的时间为，
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴线段所在直线的函数解析式为；
（3）设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍，
当甲车到达B地前，可有，
解得，
当甲车到达B地后，可有，
解得，
∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍．
3．在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题：
(1)求出乙车的速度．
(2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间．
(3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量．
【答案】(1)乙车的速度为
(2)甲车行驶了
(3)乙车的速度应该减小，速度减小
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据速度路程时间计算即可；
（2）先判断哪辆车先到达目的地，再根据速度路程时间求出甲车的速度，从而由（甲车出发时两车之间的距离两车速度之和列式计算即可；
（3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，从而得出结论即可．
【详解】（1）解：．
答：乙车的速度为；
（2）解：乙车到达地的时间为，
，
乙车先到达地，
则甲车的速度为，
．
答：甲车行驶了；
（3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地，
则此时乙车的速度应该为，
．
答：乙车的速度应该减小，速度减小．
考点六、一次函数的解决问题——方案问题
1．为美化校园，学校准备购买A，B两种树苗．已知购买4棵A树苗和2棵B树苗需要52元；购买6棵A树苗和4棵B树苗需要88元．
(1)求这两种树苗的单价；
(2)购买时有两种方案：方案一：购买A树苗超过50棵时，超过的部分按原价的八折付款，B树苗没有优惠；方案二：两种树苗都按原价的九折付款．学校决定购买x（x＞50）棵A树苗和40棵B树苗．
①求两种方案的费用y（元）与x（棵数）之间的函数关系式；
②哪种方案更合算呢？
【答案】(1)A种树苗每棵8元，B种树苗每棵10元
(2)①方案一：；方案二：；②当时，方案二更合算；当时，方案一、二费用相同；当时，方案一更合算
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，正确列出二元一次方程组成为解答本题的关键．
（1）设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，根据“购买4棵A树苗和2棵B树苗需要52元；购买6棵A树苗和4棵B树苗需要88元”列二元一次方程组解答即可；
（2）①根据方案一和方案二分别列出费用（元）与（棵树）之间的函数关系式即可；②分三种情况比较两种方案进行解答即可．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，
根据题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵8元，B种树苗每棵10元；
（2）解：①设按方案一购买的费用为元，按方案二购买的费用为元．
根据题意得；
．
②当时，，解得．
当时，，解得．
当时，，解得．
∴当时，方案二更合算；当时，方案一、二费用相同；当时，方案一更合算．
2．某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象，
(1)求时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式；
(2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
(3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【答案】(1)
(2)
(3)这位员工生产了30或170个零件
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，根据题意求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据图象先求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解；
（3）分当时，当时两种情况，列出方程求解即可．
【详解】（1）设函数表达式为
每超过一个加计4元，
把(100，100)代入
解得
函数表达式为
（2）方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为
令，解得
又令，解得
由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多
（3）当时，依题意得：，
解得
当时，依题意得：，
解得
综上所述：这位员工生产了30或170个零件
3．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打8折出售；
B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折．
该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．
(1)分别求出，与x之间的函数关系式；
(2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【答案】(1)（，且x为整数）；
(2)在A超市购买更划算
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式是本题的关键．
（1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于100盒和大于100盒两种情况表示出关于x的函数关系式；
（2）将分别代入和求解比较即可．
【详解】（1）根据题意得，（，且x为整数），
当且x为整数时，，
当时，且x为整数，，
与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）．
与x之间的函数关系式为：
（2）当时，．
而，
∴该单位在A超市购买更划算．
考点七、一次函数的解决问题——几何动点问题
1．在平面直角坐标系中，满足方程组，若，，连接交y轴于点B，连接．
(1)求点C坐标；
(2)动点P从点D出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动到点A时停止运动，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；
(3)在（2）的条件下，M为线段上的一点，且点M的坐标为，动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动；点Q与点P同时出发，（一点停止另一点也停止运动），当的面积与的面积和为时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、三角形的面积、动点问题等知识点，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）直接解方程组求得a、b的值即可解答；
（2）如图1，过点C作轴于点F． 然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，然后根据三角形的面积公式构建方程求得，最后确定点P的即可．
【详解】（1）解：∵满足方程组，
∴，
∴C点坐标为．
（2）解：如图1，过点C作轴于点F．
∵，
∴，
∵
∴，
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，
∴
∴，即．
（3）解：如图2，过点M作轴于点M，作轴于点N，
∵，
∴．
∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，解的：，
∴，
∴，即，
∵动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，
∴t秒后，，则，
∴，
∴，
∴，解得．
∴当的面积与的面积和为时，当t为．
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒；
点的坐标为_____，点的坐标为_____；
若点在线段上，且的面积为时，求的值；
直接写出为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)，；
(2)，；；或或或．
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可；
（2）把代入直线解析式，即可求得；
利用面积公式列出方程进行求解即可；
分三种情况：
当时，如图1，
当时，如图2，
当时，如图3，分别求t的值即可．
【详解】（1）解：在中，
当时，，
当时，，
，，
点在直线上，
，
，
又点也在直线上，
，
解得，，
，；
（2）解：直线与轴相交于点，
由（1）得，
，
解得，
点的坐标为，
由（1）得点的坐标为；
过点作于点，即的高，如图所示，
，，
，
的面积为，
，，
，，
，
设，则，
，
解得；
为等腰三角形有三种情况：
过作于，如图1所示，
则，，
，
，
第一种情况：当时，，
，
此时；
第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示，
则，
，
，
或；
第三种情况：当时，如图3所示，
设，则，
，
，
解得，，
与重合，，
，
；
答：为等腰三角形时，的值为或或或．
3．如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题．
(1)图1中______；
(2)当时，的面积S与运动时间t的关系式是______．
(3)当的面积为时，求运动时间t的值．
【答案】(1)12
(2)
(3)或
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的应用，
（1）根据题意得到点P运动的路程为，当时，S达到最大值30，当点P运动到点D时，S最大，进而列式求解即可；
（2）根据题意得到，求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，分别求出两段的表达式，然后将代入求解即可．
【详解】（1）∵动点P沿的路径运动，速度为
∴点P运动的路程为，
由图象可得，当时，S达到最大值30，
∵当点P运动到点D时，S最大
∴；
（2）∵当点P运动到点D时，S最大
∴
∴
∴
∴当时，；
（3）当时，
∴；
当时，设S与t的表达式为
∴
解得
∴
∴当的面积为时，
∴
综上所述，当的面积为时，或．
考点八、一次函数中的特殊三角形
1．如图，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点B．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）把代入可得点的坐标，把代入可得点的坐标；
（2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式；
（3）分三种情况：①当点为等腰的顶点，即时；②当点为等腰的顶点，即时；③当点为等腰的顶点，即时，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵点在直线上，
∴当时，，
∴，
∴．
∴点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵点和点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为．
（3）解：存在，
∵，作轴于点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
①当点为等腰的顶点，即时，
则点与点重合，
∴此时点的坐标为；
②如图，当点为等腰的顶点，即时，
∵，，
∴此时点的坐标为或；
③当点为等腰的顶点，即时，如图：
∵，，
∴为的中点，即．
∵，，
∴此时点的坐标为．
综上可知，在轴上存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质．分类讨论是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数与一次函数的解析式；
(2)点D是直线上一点，且的面积是的面积的3倍，求点D的坐标；
(3)若点E在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解．
【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则，正比例函数的表达式为：，
由题意得：，
解得：，
故一次函数表达式为：；
（2）解：由（1）知，点，
的面积，则的面积，
设点，
的面积，
解得：或，
则点或；
（3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H，
，，
，
，，
，
则，，
则点
当为直角时，
同理可得，点，
综上，或
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
3．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可；
（2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）∵直线与轴交于点，
当时，得：，解得：，
∴，
由（1）知：，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）①当时，
由（2）知：，
此时点与点重合，
∴点的坐标为，
②当时，即，此时点的横坐标为，如图，
∵直线，
当时，得：，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
知识导图记忆
1．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了由一次函数的交点求二元一次方程组的解，由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，
∴方程组的解为，
故选：C．
2．为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把代入，求出结果即可．
【详解】解：把代入得：
，
即高的凳子应配课桌的高度为，
故选：A．
3．如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可得：，，
∴，
∴函数的图象经过一、二、三象限，如图：
，
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象的综合判断，当时，两个函数的函数值都为，则两直线的交点必定在y轴右侧（或在y轴上），据此可判断B、D；当，两个函数与y轴都交于正半轴，据此可判断A；当时，两个函数图象一个经过第一、二、四，一个经过第一、三、四，据此可判断C．
【详解】解：∵当时，两个函数的函数值都为，
∴直线和直线的交点为，故、D均错误；
当，两个函数与y轴都交于正半轴，故A错误；
当时，两个函数图象一个经过第一、二、四，一个经过第一、三、四，即如C所示，
故选：C．
5．小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．加热前煤油比水的温度高
B．加热过程中，煤油温度上升的速率是
C．加热时，煤油的温度比水的温度高
D．煤油比水早达到
【答案】D
【分析】本题主要考查从图像中获取信息和一次函数的性质．由图可知加热前，煤油和水的温度是一样的；由题图可知，加热过程中煤油温度上升的速率为；结合题图信息，利用待定系数法求得水在加热前中关系式为，求得当时，，则可求得煤油的温度比水的温度高的温度；结合图像可知煤油在加热时达到，水在加热时达到，即可知煤油比水早达到．
【详解】解：由题图可知，加热前，煤油和水的温度是一样的，故A选项错误；
由题图可知，加热过程中，煤油温度上升的速率为，故B选项错误；
由题图可知，当水加热到时，需要20min，
设水在加热前中，温度y与时间x的关系式为，将，代入，得解得
∴，当时，，
∵加热时，煤油的温度是，
∴加热时，煤油的温度比水的温度高，故C选项错误；
∵煤油在加热时达到，水在加热时达到，
∴煤油比水早达到，
故选：D．
6．函数与的图象如图所示，两图象交点的横坐标为，则二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解图示中交点的含义是解题的关键．
根据两直线交点的横坐标可得两直线交点坐标，由此即可得到二元一次方程组的解．
【详解】解：函数与两图象交点的横坐标为，
∴，
∴交点坐标为，
原二元一次方程变形得，即两线联立的方程组，
∴二元一次方程组的解是，
故答案为： ．
7．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出及的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可，根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴符合该条件的一次函数的表达式为，
故答案为：．
8．某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是 码．
【答案】38
【分析】本题主要考查一次函数关系；设，代入得出，再把代入计算即可．
【详解】解：设，
代入得：
，
解得：，
所以
∴当时，，
解得：，
故答案为：38．
9．已知一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
10．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为 ，在第 秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米．
【答案】 或
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．
当 时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，然后根据题意的高度差列方程求出时间值即可．
【详解】当时，，
∴点的坐标为，
由题意知点的坐标为，
设
将代入，得，
，
，
∴线段对应的函数表达式为：，
当号和号无人机飞行高度差为米时，得：，
解得：或，
∴在第或秒时，号和号无人机飞行高度差为米.
故答案为： ；或．
11．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
(1)求一次函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积；
(4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解；
（2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解；
（3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴，解得：，
∴，
把和代入一次函数，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令，则，
∴点．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，，解得： ，
∴点，
∴，
∵，
∴的面积．
（4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键．
12．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示．
(1)求该车y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键．
（1）设，由题意知：当时，；当时，，用待定系数法即可求解；
（2）令，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：设，由题意知：当时，；当时，，
代入得，．
解得：，，
；
（2）解：令，则，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
13．游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下：
方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费；
方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费．
设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义；
(3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答．
【详解】（1）解：设直线的解析式为．
由图可知的图象经过．
解得
．
（2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元．
办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费，
每次游泳的原价为（元）
设直线的解析式为，
．
点为直线的交点，
此时，
即．
解得．
此时．
点的坐标为．
点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以；
当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；
当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠．
14．一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点．
(1)求m的值及的解析式；
(2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，熟知待定系数法是解题的关键．
（1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入的函数解析式中求解即可；
（2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题．
【详解】（1）解：将代入一次函数解析式中，得，
解得．
则点坐标为．
设的解析式为，
将点坐标代入，得，
解得，
所以的解析式为；
（2）解：将代入中，得，
∴点坐标为，又，
故．
∵，
∴，又，
则，
解得，
又点坐标为，
∴点坐标为或．
15．如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2．
①求点的纵坐标；
②若点在内部（不含边界），直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)①点的纵坐标为；②
【分析】（1）由待定系数法列式求解即可得到答案；
（2）设，由平面直角坐标系中求三角形面积方法，根据的面积为，数形结合得到，解方程即可得到答案；
（3）①证明，即可求解；②由点 （n-1，-1）知，点 在 上运动，再用数形结合的方法即可求解
【详解】（1）解：直线与直线交于点，
将点代入，得 ；
点，
设直线，
将 、代入直线得，
解得，
则直线的表达式为：；
（2）解：如图所示：
直线与坐标轴交于两点，
当时，，即；当时，，解得，即，
设，
的面积为，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：①将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
为等腰直角三角形，
过点作轴于点，如图所示：
，，
，
，，
，
，，
即点，
点的纵坐标为；
②由点知，点在上运动，
当点在上时，即 ，解得；
当在上时，即，解得；
当点在上时，即，解得；
如图所示：
若点在内部（不含边界），则线段与的边只有一个交点，
的取值范围为：．
【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积表示方法、旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、动点的轨迹等知识，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键．教材习题01
某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元．
(1)求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）．
(2)若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用．
（1）解：设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元，
由购买B型机器人模型台，
∴，
即；
（2）解：由题意得：，解得．
∵，，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值5600，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元．
教材习题02
如图1，延安既是华夏民族的发祥地之一，又是中国革命圣地，曾被喻为中国革命的灯塔，是国务院首批公布的历史文化名城．为了追寻红色印记，传承红色基因，某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动，他们从汉中出发匀速行驶至西安后，停车休息了2小时，然后从西安出发继续匀速行驶至延安，他们距离延安的路程与行驶时间x（小时）之间的关系如图2所示．
请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段y与x之间的函数关系式；
(2)他们从西安出发多久后，距离延安的路程还剩？
（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为．
根据题意可得点C的横坐标为，
∴，，
∴，
解得：，
∴图中段y与x之间的函数关系式为；
（2）解：令，得，
解得，
（小时），
∴他们从西安出发3小时后，距离延安的路程还剩．
教材习题03
如图，在中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)直接写出的面积为3时的值．
（1）解：当时，D在边上，
；
当时，D在边上，
；
（2）解：当时，，
当时，；
当时，；
描点画出图象如下∶
（3）解：在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得．
综上所述，t的值为或3．
教材习题04
如图，直线与直线相交于点．
(1)求b的值；
(2)直接写出关于x，y的方程组的值；
(3)若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式．
（1）解：根据题意可知：点在直线上，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴交点坐标是，
∴方程组的解是；
（3）解：直线中，当时，，
故点A坐标为，设点B坐标为，
故，
解得：，
故点B坐标为，
将点B、点P坐标代入方程，可得：，
解得：，
故直线对应函数表达式为：．