上海市嘉定区中光高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市嘉定区中光高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题满分54分，共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分)
1.若复数满足, 则 .
2.正弦函数是一个 函数(填写“奇”或“偶”)
3.已知角的终边经过点, 则 .
4.向量的单位向量 .
5.已知扇形的圆心角大小为，半径为，则扇形的弧长为 .
6.已知是的边上的中线,若则 .结果用和表示)
7.若函数的最大值为2，则实数的取值为 .
8.设向量，则在的方向上的数量投影为 .°
9. 函数的部分图像如图所示，则 .
10. 将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 .
11.设向量其中为坐标原点, ,若三点共线, 则的最小值为 .
12. 已知函数且给出下列四个命题：
(1)该函数的值域为;
(2)当且仅当时,;
(3)对任意恒成立.
上述命题中正确的序号是
二、选择题(本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，否则一律得零分)
13.下列等式中不恒成立的是( )


14. 在中, 若，则的形状是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
15.要得到函数的图象, 只要将函数的图象 ( )
A.向左平移个单位； B.向右平移个单位；
C.向左平移个单位 ； D.向右平移个单位.
16.在中,且,为边的中点.若在边上运动(点可与重合) , 则的最小值为( )

三、解答题(本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤)
17. (本题满分14分, 第1小题6分, 第2小题8分)
已知复数；
(1) 求
(2)若复数满足，求.
18. (本题满分14分, 第1小题6分, 第2小题8分)
已知向量
(1) 时,求的值:
(2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围：
19.(本题满分14分, 第1 小题6分, 第2小题8分)
如图所示，甲船在距离港口海里，并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里.
(1) 求的正弦值；
(2)当乙船行驶海里到达处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少海里?
20. (本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分)
已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数 试求的相伴特征向量;
(2)已知为的相伴特征向量，,求函数的对称轴.
(3)记向量的相伴函数为，求当且 ,的值;
21. (本题满分 18分, 第1小题4分, 第2 小题6分, 第3 小题8分)
设
(1) 求的最小正周期；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围。
2023学年第二学期期中考试
高一数学试卷(总分:150分 ,考试时间:120分钟)
一、填空题(本大题满分54分，共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分)
1.若复数满足, 则 .
解析：
2.正弦函数是一个 函数(填写“奇”或“偶”)
解析：是一个奇函
3.已知角的终边经过点, 则 .
解析：
4.向量的单位向量 .
解析：
5.已知扇形的圆心角大小为，半径为，则扇形的弧长为 .
解析：
6.已知是的边上的中线,若则 .结果用和表示)
解析：
7.若函数的最大值为2，则实数的取值为 .
解析：的最大值为2，则
8.设向量，则在的方向上的数量投影为 .
解析：在的方向上的数量投影为
°
9. 函数的部分图像如图所示，则 .
解析：由题知：
所以
10. 将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 .
解析：的图象向右平移个单位得，所以
令
的单调递减区间为
11.设向量其中为坐标原点, ,若三点共线, 则的最小值为 .
解析：
三点共线，则
当且仅当时取等.
12. 已知函数且给出下列四个命题：
(1)该函数的值域为;
(2)当且仅当时,;
(3)对任意恒成立.
上述命题中正确的序号是
解析：
由图可知值域为，所以(1)错；(2)对，
当时，
当时
当
所以对任意恒成立. (3)对
所以选(2)，(3)
二、选择题(本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，否则一律得零分)
13.下列等式中不恒成立的是( )


解析：错误
所以选C；
14. 在中, 若，则的形状是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
解析：
所以的形状是钝角三角形
所以选A；
15.要得到函数的图象, 只要将函数的图象 ( )
A.向左平移个单位； B.向右平移个单位；
C.向左平移个单位 ； D.向右平移个单位.
解析：向右平移个单位得到函数
所以选D；
16.在中,且,为边的中点.若在边上运动(点可与重合) , 则的最小值为( )

解析：取中点,连接，所以
所以等价于求最小值，垂直时，最小为
的最小值为
所以选A；
三、解答题(本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤)
17. (本题满分14分, 第1小题6分, 第2小题8分)
已知复数；
(1) 求
(2)若复数满足，求.
解析：(1)
(2)
18. (本题满分14分, 第1小题6分, 第2小题8分)
已知向量
(1) 时,求的值:
(2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围：
解析：(1)
(2)向量与向量的夹角为锐角
所以
19.(本题满分14分, 第1 小题6分, 第2小题8分)
如图所示，甲船在距离港口海里，并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里.
(1) 求的正弦值；
(2)当乙船行驶海里到达处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少海里?
解析：(1)由题知：
所以在中，
(2)
此时甲、乙两船之间的距离为海里.
20. (本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分)
已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数 试求的相伴特征向量;
(2)已知为的相伴特征向量，,求函数的对称轴.
(3)记向量的相伴函数为，求当且 ,的值;
解析：(1)
的相伴特征向量
(2) 为的相伴特征向量
所以
令
所以函数的对称轴为直线
(3) 向量的相伴函数为，所以
21. (本题满分 18分, 第1小题4分, 第2 小题6分, 第3 小题8分)
设
(1) 求的最小正周期；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围。
解析：(1)
(2) 在上恒成立
所以在上恒成立
(3) 函数在上有两个零点
令，