南京市六校联合体2024-2025高二下学期期末数学试卷及答案

这是一份南京市六校联合体2024-2025高二下学期期末数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且N⊆M，则实数a的值是( )
A． －2 B． 0 C． 1 D． 2
2．设x∈R，则“csx＝1 ”是“sinx＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知x＞0，y＞0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．8 B． 9 C．10 D． 11
4．函数f(x)＝A eq \f(x·csx,e\(\s\up6(|x|))E)A的图象大致为( )
A．B．C．D．
5．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： A eq \b\bc\|(\a\ac(a b,c d)E)A＝ad－bc，已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若A eq \b\bc\|(\a\ac(2a3 a3－a2, a4 a3－a2)E)A＝0，a1＝1，q≠1，则S7＝( )
A．31B．63C．127D．255
6．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线 x＝3交C于M，N两点，C的准线交x轴于点P，若PM⊥PN，则C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x
7．将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为( )
A．19B．20C．21D．22
8．已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R，记g(x)＝f '(x)，已知f(2x＋1)和g(x＋2)都是偶函数，且g(2)＝1，则A eq \(∑,\s\up6(2025)AE,\s\d6(k＝0))Eg(k)的值为( )
A．1B．－1C．2025D．－2025
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．已知函数f(x)＝3sin(ωx－Aeq \f(π,6E)A)，其中ω＞0，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为Aeq \f(π,2E)A，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2
B．函数图象关于点(Aeq \f(π,24E)A，0)对称
C．函数在区间[0，Aeq \f(π,6E)A]单调递增
D．函数的图象可以由y＝3sinωx的图象向右平移Aeq \f(π,6E)A个单位得到
10．下列等式正确的是( )
A．Aeq \(∑,\s\up6(10)AE,\s\d6(k＝1))ECAeq \\al(k,10E)A＝210B．Aeq \(∑,\s\up6(10)AE,\s\d6(k＝2))ECAeq \\al(2,kE)A＝CAeq \\al(3,11E)A
C．Aeq \(∑,\s\up6(10)AE,\s\d6(k＝1))E(－1)kCAeq \\al(k,10E)A＝0 D．Aeq \(∑,\s\up6(10)AE,\s\d6(k＝1))EAeq \f(k,(k＋1)!E)A＝1－Aeq \f(1,11!E)
11．已知双曲线C：A eq \f(x2,a2E)A－A eq \f(y2,b2E)A＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作斜率为
－Aeq \r(15E)A的直线与双曲线的右支交于A、B两点(A在第一象限)，|AB|＝|BF1|，P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．|AF1|＝2|AF2|B．双曲线C的离心率为2
C．直线OP的斜率为－AAEAeq \f(eq \r(15),E5E)A D．△AF1F2的面积为2Aeq \r(15E)Aa2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切线的条数是Aeq \(▲,________E)A条．
13．设A，B是一个随机试验中的两个随机事件，且P(A)＝A eq \f(1,3E)A，P(B)＝A eq \f(1,2E)A，P(A＋Aeq \(\s\up7(—),EBE)A)＝Aeq \f(3,4E)A，则P(Aeq \(\s\up7(—),EBE)A|A)＝Aeq \(▲,________E)A．
14．已知实数x，y，z均小于1，且满足ex－eAeq \s\up4(lg23E)A＝e·(x－lg23)，ey－eAeq \s\up4(lg35E)A＝e·(y－lg35)，
ez－eAeq \s\up4(lg58E)A＝e·(z－lg58)，其中e为自然对数的底数．则x，y，z的大小关系是Aeq \(▲,_______E)A．
(用“＜”连接)
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分13分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．
(1)求证：A1B⊥B1C；
(2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值．
16．(本题满分15分)
某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品．
(1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列和数学期望．
17．(本题满分15分)
已知椭圆C：Aeq \f(x2,a2E)A＋Aeq \f(y2,b2E)A＝1(a＞b＞0)的离心率为AAEAeq \f(eq \r(3),E2E)A，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且Aeq \(\s\up6(→),EBGE)A＝Aeq \f(2,5E)AAeq \(\s\up6(→),EBHE)A，求直线l的方程．
18．(本题满分17分)
已知f(x)＝a·ex－x．
(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若方程a·ex－x＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：(1－a)·x1＞a．

19．(本题满分17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，若存在常数λ(λ＞0)，使得λan≥Sn＋1对任意n∈N*都成立，则称数列{an}具有性质M(λ)．
(1)若数列{an}的通项公式an＝－2n＋1，求证：数列{an}具有性质M(3)；
(2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质M(λ)．
①若数列{an}是公比为q的等比数列，且λ＝4，求q的值；
②求λ的最小值．
2024－2025学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
四、解答题
15.(1)证明：连接AB1，
因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，
又AC平面ABC，所以AC⊥AA1，
又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1平面ABA1，所以AC⊥平面ABA1，
又A1B平面ABA1，则A1B⊥AC，2分
因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，
所以A1B⊥AB1，4分
因为AC∩AB1＝A，AC、AB1平面ACB1，所以A1B⊥平面ACB1，5分
又B1C平面ACB1，则A1B⊥B1C．6分
(2)因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
所以AB，AC，AA1两两垂直，
所以以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以A eq \(A1B,\s\up6(→)E)A＝(2，0，－2)，8分
A eq \(AE,\s\up6(→)E)A＝(0，2，1)，A eq \(AF,\s\up6(→)E)A＝(1，1，0)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，则A eq \b\lc\{(\a\ac\c1\hs2\vs2(n·\(AE,\s\up6(→))＝2b＋c＝0,En·\(AF,\s\up6(→))＝a＋b＝0)E)A，
令a＝1可得n＝(1，－1，2)．10分
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sinθ＝|cs＜n，A eq \(A1B,\s\up6(→)E)A＞|＝A eq \f(|n·\(A1B,\s\up6(→))|,E|n||\(A1B,\s\up6(→))|E)A＝A eq \f(2,\r(,4＋4)×\r(,E1＋1＋4)E)A＝A eq \f(\r(,3),E6E)A，12分
即A1B与平面AEF成角的正弦值为A eq \f(\r(,3),E6E)A，
所以A1B与平面AEF成角的余弦值为A eq \f(\r(,33),E6E)A．13分

16．解：(1)记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件A，1分
则P(A)＝A eq \f(C\(\s\up1(2),E6)C\(\s\up1(1),4),C\(\s\up1(3),10)E)A＝A eq \f(60,120E)A＝A eq \f(1,2E)A．4分
(2)由题意，任取一个，取到一等品的概率为A eq \f(6,10E)A＝A eq \f(3,5E)A，5分
因为X可能的取值为0，1，2，3，且X服从二项分布(3，A eq \f(3,5E)A)
所以P(X＝0)＝(A eq \f(2,5E)A)3＝A eq \f(8,125E)A，7分
P(X＝1)＝CA eq \(\s\up1(1),E3E)AA eq \f(3,5E)A·(A eq \f(2,5E)A)2＝A eq \f(36,125E)A，9分
P(X＝2)＝CA eq \(\s\up1(2),E3E)A(A eq \f(3,5E)A)2A eq \f(2,5E)A＝A eq \f(54,125E)A，11分
P(X＝3)＝(A eq \f(3,5E)A)3＝A eq \f(27,125E)A，13分
数学期望E(X)＝3×A eq \f(3,5E)A＝A eq \f(9,5E)A．15分
17．(1)由题意：S＝A eq \f(1,2E)A·2a·2b＝4，所以ab＝2，1分
又因为A eq \f(c,aE)A＝A eq \f(\r(,3),E2E)A，
所以a＝2，b＝1，3分
所以椭圆的方程：A eq \f(x2,4E)A＋y2＝1．4分
(2)由题意，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
由A eq \b\lc\{(\a\ac( y＝k(x－2),E x2＋4y2＝4)E)A ，可得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
因为2＋xG＝A eq \f(16k2,1＋4k2E)A，所以xG＝A eq \f(8k2－2,1＋4k2E)A，代入直线方程可得yG＝A eq \f(－4k,1＋4k2E)A.7分
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得3分）
过点B与l垂直的直线方程为y＝－A eq \f(1,kE)A(x＋2)，
由A eq \b\lc\{(\a\ac( y＝－\f(1,k)(x＋2),E y＝k(x－2))E)A可得xH＝A eq \f(2k2－2,k2＋1E)A，yH＝A eq \f(－4k,k2＋1E)A，10分
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得3分）
因为A eq \(BG,\s\up6(→)E)A＝A eq \f(2,5E)AA eq \(BH,\s\up6(→)E)A，所以(xG－2，yG)＝A eq \f(2,5E)A(xH－2，yH)
法一：xG－2＝A eq \f(2,5E)A(xH－2)，11分
所以A eq \f(8k2－2,1＋4k2E)A－2＝A eq \f(2,5E)A·(A eq \f(2k2－2,k2＋1E)A－2)，解得k＝±1，13分
所以直线l的方程：y＝x－2或y＝－x＋2．15分
法二：yG＝A eq \f(2,5E)AyH，11分
所以A eq \f(－4k,1＋4k2E)A＝A eq \f(2,5E)A·(－A eq \f(4k,1＋k2E)A)，解得k＝±1，13分
所以直线l的方程：y＝x－2或y＝－x＋2．15分
(注：如果先证一个结论：kAG·kBG＝－A eq \f(1,4E)A，因为kBG＝k，kAG＝－A eq \f(1,4kE)A，由A eq \b\lc\{(\a\ac( y＝k(x－2),E y＝－\f(1,k)(x＋2))E)A 可得G(A eq \f(8k2－2,1＋4k2E)A，A eq \f(－4k,1＋4k2E)A)，酌情给分)

18．(1)因为f '(x)＝a·ex－1，所以f '(0)＝a－1，2分
又因为f(0)＝a，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－a＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a．4分
(2)因为f '(x)＝a·ex－1，
①若a≤0，则f '(x)＜0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，无增区间．7分
②若a＞0，令f '(x)＞0得x＞－lna，令f '(x)＜0得x＜－lna，所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．10分
(注：没写综上不扣分，a＝0单独写不扣分，a＝0漏掉扣1分)
(3)若a≤0，由(2)知f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，方程至多有一个实根，不符题意，
所以a＞0．11分
法1．由题意知a·eAeq \s\up6(x1E)A＝x1，所以a＝AAEAeq \f(x1,eeq \s\up6(x1)E)A，且x1＞0．
要证(1－a)x1＞a，只要证(1－a)·aeAeq \s\up6(x1E)A＞a，只要证(1－a)·eAeq \s\up6(x1E)A＞1，只要证(1－AAEAeq \f(x1,eeq \s\up6(x1)E)A)·eAeq \s\up6(x1E)A＞1，只要证eAeq \s\up6(x1E)A－x1＞1．14分
令g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
因为x1＞0，所以g(x1)＞0，即eAeq \s\up6(x1E)A－x1＞1，
所以(1－a)x1＞a得证．17分
法2．由(2)得f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增，
所以f(－lna)＝1＋lna＜0，所以0＜a＜Aeq \f(1,eE)A．
因为Aeq \f(a,1－aE)A＜1＜－lna，所以x1，Aeq \f(a,1－aE)A∈(－∞，－lna)，
要证(1－a)x1＞a，只要证x1＞Aeq \f(a,1－aE)A，只要证f(x1)＜f(Aeq \f(a,1－aE)A)，只要证f(Aeq \f(a,1－aE)A)＞0．
而f(Aeq \f(a,1－aE)A)＝a·eAAEAeq \s\up6(eq \f(a,1－a)E)A－Aeq \f(a,1－aE)A＝a·(eAAEAeq \s\up6(eq \f(a,1－a)E)A－Aeq \f(1,1－aE)A)，14分
令g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
所以x＞0时，ex－x－1＞0恒成立，令x＝Aeq \f(a,1－aE)A得eAAEAeq \s\up6(eq \f(a,1－a)E)A－Aeq \f(1,1－aE)A＞0，
所以f(Aeq \f(a,1－aE)A)＞0．
所以(1－a)x1＞a得证．17分
19．(1)设由数列{an}的通项公式，an＝－2n＋1，Sn＝A eq \f((－1－2n＋1)n,E2E)A＝－n2，2分
于是3an－Sn＋1＝3(－2n＋1)＋(n＋1)2＝(n－2)2≥0，
即3an≥Sn＋1，
所以数列{an}具有性质M(3)．4分
(2)①由数列{an}具有性质M(4)，得4an≥Sn＋1，又等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则4a1≥(n＋1)a1，解得n≤3，与n为任意正整数相矛盾；5分
当q≠1时，4a1qAeq \s\up6(n－1E)A≥a1·A eq \f(1－qeq \s\up6(n＋1),E1－qE)A，而an＞0，整理得4qeq \s\up6(n－1)≥ eq \f(1－qeq \s\up6(n＋1),1－q)，
若0＜q＜1，则qeq \s\up6(n－1)≥ eq \f(1,(q－2)2)，解得n＜1＋lgq eq \f(1,(q－2)2)，与n∈N*矛盾；6分
若q＞1，则qeq \s\up6(n－1)(q－2)2≤1，当q＝2时，qeq \s\up6(n－1)(q－2)2≤1恒成立，满足题意；7分
当q＞1且q≠2时，qeq \s\up6(n－1)≤ eq \f(1,(q－2)2)，解得n＜1＋lgq eq \f(1,(q－2)2)，与n∈N*矛盾；8分
所以q＝2．9分
②由λan≥Sn＋1，得λan＋1≥Sn＋2，即λ(Sn＋1－Sn)≥Sn＋2，11分
因此λSn＋1≥λSn＋Sn＋2≥2 eq \r(,λSnSn＋2)，即 eq \f(Sn＋2,Sn＋1)≤ eq \f(λ,4)· eq \f(Sn＋1,Sn)，13分
则有 eq \f(Sn＋1,Sn)≤ eq \f(λ,4)· eq \f(Sn,Sn－1)≤( eq \f(λ,4))2· eq \f(Sn－1,Sn－2)≤…≤( eq \f(λ,4))eq \s\up6(n－1)· eq \f(S2,S1)，15分
由数列{an}各项均为正数，得Sn＜Sn＋1，从而1＜( eq \f(λ,4))eq \s\up6(n－1) eq \f(S2,S1)，即( eq \f(λ,4))eq \s\up6(n－1)＞ eq \f(S1,S2)，
若0＜λ＜4，则n＜1＋lg eq \(\s\d4(\f(λ,4))) eq \f(S1,S2)，与n∈N*矛盾，16分
因此当λ≥4时，( eq \f(λ,4))eq \s\up6(n－1)≥1eq \s\up6(n－1)＞ eq \f(S1,S2)恒成立，符合题意，
所以λ的最小值为4．17分1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
C
C
D
C
B
9
10
11
AC
BD
ABC
12
13
14
3
Aeq \f(1,4E)
x＜y＜z