四川省泸州市2025年中考真题数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市2025年中考真题数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 2和D. 和
【答案】A
【解析】A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故选：C．
3. 如图，直线，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵，∴，
∵，∴，故选：B．
4. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，原写法错误，故本选项不符合题意；
B、，原写法错误，故本选项不符合题意；
C、，写法正确，故本选项符合题意；
D、，原写法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高，
从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定，
∴选择乙同学参加比赛，
故选：B．
7. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角相等
【答案】A
【解析】A、矩形对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故选：A．
8. 如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴
故选：B．
9. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵，∴，
正整数解为：，；，；，共3个，
故选：C．
10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
当时，则原函数解析式为，
当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
11. 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故选：B．
12. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，则：，解得：，
∴；
当，即时，则：，解得：，∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若点在第一象限，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】∵点在第一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是____________．
【答案】5
【解析】把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6，
∴中位数为．
15. 若一元二次方程的两根为，则的值为_______．
【答案】10
【解析】∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
16. 如图，梯形中，，与梯形各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________．
【答案】
【解析】设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵梯形，，
∴点共线，
∴四边形为矩形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17. 计算：．
解：
．
18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
19. 化简：．
解：
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数；
（3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率．
解：（1）（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
（2）（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
21. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
解：（1）∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
（1）求的度数；
（2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
解：（1）如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24. 如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
解：（1）∵抛物线经过点，与轴交于点，
∴，∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，∴，∴；
∵，∴，∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．甲
乙
丙
丁
平均数
205
217
208
217
方差
4.6
4.6
6.9
9.6
课程名称
巧手木艺
创意缝纫
快乐种植
美味烹饪
爱心医护
人数
6
12
18