河南省驻马店市部分学校（九师联盟）2025届高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试卷（解析版）

这是一份河南省驻马店市部分学校（九师联盟）2025届高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z满足z1+i=3+i，则z=（ ）
A．1-iB．1+iC．2-iD．2+i
【答案】C
【解析】已知z1+i=3+i，
则z=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i.
故选：C.
2．函数fx=x+csx在区间-π2,π上的最大值为（ ）
A．πB．π2+1C．π2D．π-1
【答案】D
【解析】∵fx=x+csx，∴f'x=1-sinx，
∵x∈-π2,π，∴1-sinx∈0,2，即f'x≥0，
∴fx在-π2,π上单调递增，∴fxmax=fπ=π+csπ=π-1.
故选：D.
3．已知幂函数fx=m2+m-1xm的图象与坐标轴无公共点，则m=（ ）
A．－2B．1C．－2或1D．－1或2
【答案】A
【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2+m-1=1，
即m2+m-2=0，解得m=-2或m=1.
当m=-2时，f(x)=x-2=1x2，其定义域为{x∣x≠0}，图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当m=1时，f(x)=x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上，m=-2.
故选：A.
4．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．96种
【答案】C
【解析】将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有A22A22A22A33=48种排法.
故选 ：C.
5．小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件A=“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件B=“两人选择的景区不同”，则PBA=（ ）
A．45B．59C．35D．15
【答案】A
【解析】由题意可得P(A)=1-2×23×3=59，P(AB)=2×23×3=49，
所以PBA=PABPA=4959=45.
故选：A.
6．已知函数fx=2sinωx-π6ω>0在区间0,π上恰有3个极值点，则ω的取值范围为（ ）
A．83,113B．83,113C．3,4D．116,176
【答案】B
【解析】∵ω>0，x∈0,π，∴ωx-π6∈-π6,ωπ-π6，
令t=ωx-π6，则y=2sint，t∈-π6,ωπ-π6，
作出y=2sint的图象，
要使函数fx在区间0,π上有三个极值点，则5π21”是“x>1”的必要条件
C．若lga4⋅lgba=2，则b=2
D．∀α∈R,sinx+α≠sinxsinα+csxcsα
【答案】ABC
【解析】对于A，命题“∀x>0,lnx>0”，其否定为“∃x>0,lnx≤0”，故A正确；
对于B，由x>1能推出x2>1，所以“x2>1”是“x>1”的必要条件，故B正确；
对于C，已知lga4⋅lgba=lg4lga⋅lgalgb=2lg2lgb=2，可得lgb=lg2，所以b=2，故C正确；
对于D，∀α∈R, sin(x+α)=sinxcsα+csxsinα≠sinxsinα+csxcsα，故D错误.
故选：ABC.
10．记事件M中的样本点个数为∥M∥．对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E,F,G,H，已知E⊆Ω，F⊆Ω，G⊆Ω，H⊆Ω，∥Ω∥=80，∥E∥=40，∥F∥=30，∥G∥=20，∥H∥=50，∥E∪F∥=70，∥E∩G∥=10，∥E∪H∥=80，则（）
A．E与H互斥B．E与F互斥
C．E与G相互独立D．E与H相互独立
【答案】BC
【解析】A选项：∥E∪H∥=80，∥E∥=40，∥H∥=50，所以∥E∪H∥≠∥E∥+∥H∥，
所以E与H不互斥；
B选项：∥E∪F∥=70，∥E∥=40，∥F∥=30，所以∥E∪F∥=∥E∥+∥F∥，
所以E与F互斥；
C选项：∥E∩G∥=10，∥E∥=40，∥G∥=20，
所以PE∩G=1080=18，PE=4080=12，PG=2080=14，
所以PE∩G=PE·PG，E与G相互独立；
D选项：∥E∪H∥=80，∥E∥=40，∥H∥=50，
所以∥E∩H∥=40+50-80=10，
PE∩H=1080=18，PE=4080=12，PH=5080=58，
所以PE∩H≠PE·PH，E与H不相互独立.
故选：BC.
11．已知fx是定义在R上的增函数，且fx+6为奇函数．若实数a,b满足不等式fa2-6a+fb2-8b+36)≤0，则（ ）
A．a+b的取值范围为42,52
B．a-b的取值范围为-1-2,-1+2
C．若a,b∈Z，则满足条件的点(a,b)共有5个
D．a2+b2的取值范围为16,36
【答案】BCD
【解析】∵fx+6为奇函数，∴f-x+6=-fx+6，∴-fx=f12-x，
∵fa2-6a+fb2-8b+36)≤0，
∴fa2-6a≤-fb2-8b+36)=f-b2+8b-24，
∵fx是定义在R上的增函数，∴a2-6a≤-b2+8b-24，
∴a2-6a+b2-8b≤-24，即a-32+b-42≤1，
∴点a,b是以3,4为圆心，1为半径的圆及内部的点，
对于A选项，设a+b=z，即b=-a+z，z表示直线b=-a+z在y轴上的截距，
∴圆心3,4到直线b=-a+z的距离3+4-z12+12≤1，解得7-2≤z≤7+2，
即a+b的取值范围为7-2,7+2，故A错误；
对于B选项，设a-b=m，即b=a-m，m表示直线b=a-m在y轴上截距的相反数，
∴圆心3,4到直线b=a-m的距离3-4-m12+12≤1，解得-1-2≤m≤-1+2，
即a-b的取值范围为-1-2,-1+2，故B正确；
对于C选项，∵a-32+b-42≤1，且a,b∈Z，
满足条件的点a,b有3,4，3,3，3,5，2,4，4,4共5个，故C正确；
对于D选项，a2+b2表示点a,b到原点0,0的距离的平方，
∵圆心3,4到原点0,0的距离为32+42=5，
∴圆a-32+b-42=1上及其内部的点到原点的距离的最小值为5-1=4，最大值为5+1=6，
∴a2+b2的取值范围为16,36，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．已知集合A=xx3-x-2≤0,B=-2,-1,0,2,3，则A∩B= ．
【答案】-2,-1,0
【解析】当x=-2时，-23+2-2=-8≤0；
当x=-1时，-13+1-2=-2≤0；
当x=0时，03-0-2=-2≤0；
当x=2时，23-2-2=4>0；
当x=3时，33-3-2=22>0；
所以A∩B= -2,-1,0.
故答案为：-2,-1,0.
13．已知随机变量X∼Bn,p，若EX=6,DX=2，则当k= 时，PX=k取得最大值．
【答案】6
【解析】由随机变量X∼Bn,p，且EX=6,DX=2，
可得np=6np1-p=2，解得n=9,p=23，即X~B9,23，
则PX=i=C9i23i1-239-i，可得PX=i+1PX=i=9-ii+1×231-23=9-ii+1×2，
当PX=i+1PX=i>1时，概率递增；当PX=i+1PX=i1，解得iPX=i；当i≥7且i∈N时，PX=i+10，
所以h'x在1,+∞上单调递增，所以h'x≥h'1=0，
所以hx在1,+∞上单调递增，所以hx≥h1=0，
所以当a≥1e时，∀x∈1,+∞,fx≥0.
故答案为：1e,+∞.
四、解答题
15．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=6，PB=36，PC=62，AB=BC=32，AB⊥BC．
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）若点D满足PD=2DC，求平面ABD与平面ACD的夹角的余弦值．
（1）证明：因为PA=6，PB=36，AB=32，所以PA2+AB2=PB2，
所以PA⊥AB，
因为AB=BC=32，且AB⊥BC，所以AC=6，又PA=6，PC=62，
所以PA2+AC2=PC2，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC，
所以PA⊥平面ABC；
（2）解：如图，以点A为原点，AC,AP为y轴和z轴的正方向，在平面ABC中，作Ax⊥AC，
A0,0,0，C0,6,0，B3,3,0，D0,4,2，
AB=3,3,0，AD=0,4,2，
设平面ABD的一个法向量为m=x,y,z，
则m⋅AB=3x+3y=0m⋅AD=4y+2z=0，令x=1，则y=-1，z=2，
所以平面ABD的一个法向量为m=1,-1,2，
平面ACD的一个法向量为n=1,0,0，
平面ABD与平面ACD的夹角为θ，
csθ=csm,n=m⋅nmn=16=66，
所以平面ABD与平面ACD的夹角的余弦值为66.
16．用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表：
（1）完善上面2×2列联表，并依据α=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联?
（2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d．
解：（1）
零假设H0为数学成绩与语文成绩无关联．根据列联表中的数据，
χ2=400205×80-40×752280×120×245×155≈56.290>10.828
根据α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即数学成绩与语文成绩有关联．
（2）从数学成绩优秀的样本中（120人）按照分层抽样选取12人，因此可得语文不优秀的人数为12×40120=4，语文优秀的人数为12×80120=8，
因此从12人中抽取3人参加数学竞赛，设这3人中语文成绩优秀的人数为X,则X=0,1,2,3，且X满足超几何分布，
则PX=0=C80C43C123=155,
PX=1=C81C42C123=1255,
PX=2=C82C41C123=2855,
PX=3=C83C40C123=1455,
则X的分布列为：
所以数学期望EX=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2
17．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，依次连接E的四个顶点构成的四边形的面积为43．
（1）求E的方程；
（2）已知A为E的左顶点，不过点A的直线l与E交于P,Q两点，直线l,AP,AQ的斜率分别为k，k1，k2，若kk1+k2=-3，证明：l过定点．
（1）解：由条件可知ca=1212⋅2a⋅2b=43a2=b2+c2，解得：a=2,b=3,c=1，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1；
（2）证明：设直线l:y=kx+b，Px1,y1，Qx2,y2，A-2,0
联立y=kx+b3x2+4y2=12，得3+4k2x2+8kbx+4b2-12=0，
Δ=64k2b2-43+4k24b2-12>0，得b2f'x，所以fx=ex+csx2是0,π上的“优导函数”.
（2）由gx=ae2x-3x得g'x=2ae2x-3，
所以gx-g'x=-ae2x-3x+3，
又gx=ae2x-3x为R上的“优导函数”，
所以对任意的x∈R,gx-g'x=-ae2x-3x+3>0，
所以对任意得x∈R,a0得x>32，令φ'x0，
当m0得0