新疆维吾尔自治区2025届高三下学期四模数学试卷（Word版附解析）

这是一份新疆维吾尔自治区2025届高三下学期四模数学试卷（Word版附解析），文件包含新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测数学试题Word版含解析docx、新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次等式得出集合A，再应用交集定义计算即可.
【详解】因为得，解得，
所以，
所以，
故选：A．
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则，化简即可求解.
【详解】，
故选:B．
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦诱导公式可得，再根据余弦二倍角公式可求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：D．
4. 从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（ ）
A. 210B. 195C. 194D. 184
【答案】C
【解析】
【分析】直接计算可得结果.
【详解】用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，
.
故选：C．
5. 抛物线上与焦点距离等于6的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，可以求得点的横坐标，进一步得到纵坐标.
【详解】因为，所以．由焦半径公式得，，
因为抛物线开口朝左，所以，即，所以
故选：A．
6. 已知，，，则（ ）
A. 16B. 8C. 6D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据，平方得到，然后计算，最后开方即可.
【详解】，两边同时平方得，，
，所以，
故选:D．
7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可.
【详解】因为，，
由双曲线的定义可知，得，
又因为，
在中，，
所以.
故选：B．
8. 若直线与函数的图象在区间上有且仅有两个公共点，则称函数为直线在区间上的“双交函数”．记函数在处的切线为，若偶函数满足，当时，，且函数为直线在上的“双交函数”，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，由函数的奇偶性和求出周期，然后画出图象结合函数的新定义求解即可
【详解】因为，所以，求导得，则，
故在处的切线方程为．
因为偶函数满足，所以，
故函数的周期为2．又当时，，
作出函数的大致图象如图所示，

要使函数为直线在上的“双交函数”，由图得满足A点在直线上，
可知，代入直线方程可得．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. x的系数是10B. 第四项的二项式系数为10
C. 没有常数项D. 各项系数的和为32
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解AC，根据二项式系数的定义可求解B，利用赋值法可求解D.
【详解】含x的项为，故x的系数是80，所以A错误；
第四项为，其二项式系数为，故B正确；
2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故C正确；
各项系数的和是由时得到，即，故D错误．
故选：BC．
10. 若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为，则，
由可得，由可得或，
所以，函数的增区间为和，减区间为，
若函数在上单调递减，则，
且成立，则，无解；
若函数在上单调递增，
则或，
即或，解得或，
故选：ACD．
11. 在锐角中，，．若，设AB边上的高为CD．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平方关系求解判断A；利用和差角的正弦公式计算判断B；利用直角三角形边角关系，结合和角的正切及数量积的定义求解判断CD.
【详解】对于A，由锐角，得为钝角，，A错误；
对于B，，解得，则，B正确；
对于D，设，则，由，得，，
由，得，解得，即，．
则，，，
，解得，D正确；
对于C，，C正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．
【答案】或(答案不唯一)
【解析】
【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果.
【详解】幂函数在上是减函数，设，则，
因为有很多解，如、、、等均符合题意.
故答案为：或(答案不唯一)．
13. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的体积公式可得，即可根据勾股定理求解母线，由圆锥的侧面积公式代入计算即可.
【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为，则，解得，
故圆锥的母线，故侧面积为．
故答案为：.
14. 随机变量，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的期望及方差公式及性质计算即可.
【详解】由二项分布的期望公式得，，
又，所以，
故答案为:．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下：
高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96
高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98
国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格．
（1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格概率；
（2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率；
（3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）．
（3），．
【解析】
【分析】（1）根据概率计算方法即可求得结果.
（2）利用列举法求得总情况和符合题意的情况即可求得概率.
（3）分别计算出平均数和方差即可比较大小.
【小问1详解】
由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5，
故样本中学生体质健康不合格频率为，
故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为．
【小问2详解】
设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，，
高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，，
选取的2名学生构成的基本事件为：，，，
，，，，，，共9个，
其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个，
所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为，
故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为．
【小问3详解】

故，．
16. 若数列的首项，且满足．
（1）证明:数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最小整数n．
【答案】（1）证明见解析
（2）11．
【解析】
【分析】（1）应用递推公式结合等比数列定义证明即可；
（2）根据等比数列求和公式应用指数函数单调性解不等式.
【小问1详解】
，，
，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可知，则，
，
由，得，解得，
因为，所以满足条件的最小整数n为11．
17. 如图，在三棱锥中，平面与平面互相垂直，且，．求：
（1）所在直线和平面所成角的大小；
（2）三棱锥外接球的表面积；
（3）二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）在平面内过点作垂直于的延长线于点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到为直线与平面所成角，即可得解；
（2）法一：设，分别是和的外接圆圆心，过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心，利用勾股定理求出外接球的半径，即可得解；法二：以点为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设球心，外接球半径为，建立距离公式得到方程组，求出点坐标，即可求出，从而得解；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面、的法向量，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
在平面内过点作垂直于延长线于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，故为直线与平面所成角．
因为，，则，，
所以与全等，，
故在直角三角形中，，
所以直线与平面所成角大小为．
【小问2详解】
方法一：设，分别是和的外接圆圆心．
过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心．
设外接圆的半径为，则，得，
同理外接圆的半径．过作于，
则为的中点，，
则球的半径，
所以三棱锥外接球表面积．
方法二：由（1）可知平面，以点为原点，
，，的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
设三棱锥的外接球球心为，设，外接球半径为，
则可得，解得，
，所以外接球表面积．
【小问3详解】
由（1）可知平面，以点为原点，
，，的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
显然为平面的一个法向量，
设平面的法向量，
因为，，
则，即，
令，则，，．
所以，
设二面角为，则．
二面角的正弦值为．
18. 已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解.
（2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性，
（3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解.
【小问1详解】
，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
【小问2详解】
当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
【小问3详解】
由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19. 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）M，N是C上任意两点．
（ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标；
（ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）假设点的坐标，然后根据到两直线的距离平方和计算即可；
（2）（ⅰ）分别计算，，然后得到，进一步得到直线ON的方程，最后联立曲线C可得结果；（ⅱ）假设直线MN的方程、直线OH的方程并联立曲线，分别得到，，，然后根据可得结果.
【小问1详解】
设动点，则P到直线的距离为，
到直线的距离为，
由题可知，化简得，
可得动点P的轨迹方程为：．
【小问2详解】
（ⅰ）由题可知，，，
，
，，而，
，，，
，所以直线ON的方程为，
由可得或，
又因为点N位于y轴的右侧，所以．
（ⅱ）且，，
设直线MN的方程为：，，，
由消x得，
，
，，
又由两式相减得，可得，
则直线OH的方程为，代入得：，
则，，
，
，，
即，解得，所以直线MN的斜率为．
等级
优秀
良好
及格
不及格
测试数据