甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
2．若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A．1B．2C．3D．4
4．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
5．已知函数，则的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
6．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
7．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A．B．C．12D．14
10．高二年级安排甲，乙，丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲，丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．
C．D．的图象关于点中心对称
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合．若，则 ．
13．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 .
14．一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
(1)求的值：
(2)求展开式中的系数.
16．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)讨论函数的单调性.
17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，．

(1)证明：；
(2)若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值．
18．已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
19．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品.
(1)从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.
附：若，则，，.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数乘法的运算性质进行求解即可
【详解】，
故选C.
2．【答案】A
【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果．
【详解】
根据题意可得，
所以.
故选A.
3．【答案】C
【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值.
【详解】因为，所以，所以，解得．
故选.
4．【答案】D
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.
【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故选D.
5．【答案】B
【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
【详解】的定义域为R，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极小值点，
故选B．
6．【答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得．
故选C．
7．【答案】C
【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，
所以
．
故选C．
8．【答案】C
【分析】在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解.
【详解】由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得.
故选C.
9．【答案】BD
【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
【详解】将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选BD．
10．【答案】BD
【分析】根据间接法即可判断A,根据分步乘法计数原理即可判断BCD.
【详解】安排甲，乙，丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，
对于A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．故A错误；
对于B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．故B正确；
对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．故C错误；
对于D：如果甲，丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．故D正确．
故选.
11．【答案】BCD
【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A错误；
再利用韦达定理可以判断B正确；
利用导数研究的单调性，可以判断C正确；
利用为奇函数可以判断D正确.
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，
所以错误；
根据题意，为的两个根，
所以正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，
所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选BCD.
12．【答案】
【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.
【详解】当时，，此时不满足集合中元素的互异性，所以（舍）；
当时，可得（舍），
此时，，满足条件，所以．
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求.
【详解】由已知可得，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
14．【答案】3
【分析】利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率，列不等式即可求得每穴至少种的种子数n
【详解】记事件A为“种一粒种子，发芽”，则
设每穴种n粒，则相当于做了n次独立重复实验，
记事件B为“每穴至少有一粒发芽”，
则，
若保证每穴不需补种的概率大于97%，则
即，两边取对数得，，即
又lg3≈0.48，则，
又n为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．
故答案为：3.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由题可得，，进而即得；
(2)由二项式展开式的通项公式求解即得．
【详解】(1)因为，，
所以，解得；
(2)由通项公式，
令，可得，
所以展开式中的系数为.
16．【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)答案见解析.
【分析】(1)利用导数可求得的单调性，由极值点的定义可求得极值；
(2)求导后，分别在和的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性.
【详解】(1)当时，，则定义域为，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，无极大值.
(2)由题意知：定义域为，；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1) 取的中点，连接.根据线面垂直的判定定理确定直线和平面的位置关系证得平面，再根据线面垂直的定义可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解直线的方向向量与平面法向量，再根据向量夹角余弦公式确定线面所成角的正弦值，即可得结论.
【详解】(1)在四棱锥中，取的中点，连接，

在等腰中，，所以，
在直角梯形中，，
所以四边形是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以；
(2)因为，若，则，
又平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解；
(2)根据(1)中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点F1,0，进而可求面积.
【详解】(1)设两点的坐标分别为，
联立方程，消去得．
由，且，可得，
则，
可得点的坐标为，
又因为，解得或（舍去），
所以的值为.
(2)由(1)可知：，
则，
可得，
由椭圆方程可知：，
由直线与轴的交点为椭圆的右焦点F1,0，
则，
所以的面积为．
19．【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：；
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析.
【分析】(1)求出的取值和对应的概率可得分布列及期望；
(2)求出这10件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为X，可知，再根据，
有可得答案.
【详解】(1)因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，
，
，
所以Y的分布列如下：
故.
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为
，
由，可令，，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，，
可得，
有
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.
1
2
3
4
Y
0
1
2
P