甘肃省皋兰县第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省皋兰县第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，其中，i是虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．6
2．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则北卷录取人数为（ ）
A．70B．20C．110D．150
3．已知正六边形，则（ ）
A．B．C．D．
4．圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（ ）
A．B．C．D．
6．小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．储蓄比通信开支多50元B．日常开支比食品中的其他开支少150元
C．娱乐支出为100元D．肉类开支占总开支的
7．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
8．在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在方格中，向量的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）

A．B．C．D．
10．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（ ）
A．正四面体ABCD的高为
B．正四面体ABCD的体积为
C．正四面体ABCD的外接球的半径为
D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知（i是虚数单位），则z的虚部为 .
13．已知向量，，若，则实数的值为 .
14．某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，D为BP的中点，.
(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PBC.
17．某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
18．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
19．如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且.
(1)点E为BC的中点，证明：平面PAB；
(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用复数的乘法和复数相等的定义，求出的值即可.
【详解】由，得，所以，所以．
故选D.
2．【答案】A
【分析】由分层抽样的抽取比例乘以样本容量即可求解.
【详解】会试录取人数为200时，根据分层抽样的性质可知，
北卷录取人数为．
故选A.
3．【答案】B
【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解.
【详解】由正六边形的特征可知,，
所以.
故选B.
4．【答案】D
【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可.
【详解】由题意.
故选D.
5．【答案】B
【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解.
【详解】设为的最小角，为的最大角，
由余弦定理，可得，
因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.
故选B.
6．【答案】C
【分析】根据图表信息对选项一一分析即可得出答案.
【详解】由食品开支图，可知食品开支为（元），所以一星期的总开支为（元），其中娱乐支出为（元），故C正确；
储蓄比通信开支多（元），故A错误；
日常开支为（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B错误；
肉类开支占总开支的，故D错误.
故选C.
7．【答案】A
【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】由已知得，，
故，又B，O，D共线，
故，所以.
故选A.
8．【答案】C
【分析】根据正方体的几何性质，即可根据线线平行以及垂直关系的转化即可结合选项逐一求解.
【详解】连接，易得，
在平面中，与不垂直，故与OP不垂直，故A错误；
同理，D错误；
在正方体中，平面，平面，所以，
若，则,这与矛盾，所以与OP不垂直，故B错误；
因为平面，平面，所以，
又，，可得平面，
又平面，所以，故，故C正确．
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1，利用向量的坐标运算逐项判断.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1，

则，，.
对于A： ，，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故正确.
故选.
10．【答案】ABD
【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AB
【分析】对于A，利用勾股定理求解即可；对于B，利用体积公式求体积即可；
对于C，根据正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球，即可求解；对于D，直接利用面积公式求解即可．
【详解】
对于A：在四面体中，过点作平面于点，
则为底面正的重心，因为所有棱长均为2，
可得，
所以，
即正四面体的高为，
故A正确；
对于B：因为，，
所以正四面体ABCD的体积，故B正确；
对于C：将正四面体ABCD补形为如图正方体，易知正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球，
则外接球半径等于正方体体对角线的一半，即，故C错误；
对于D：设正四面体ABCD的内切球的半径为r，则，
，解得，故内切球的表面积为，故D错误．
故选AB.
12．【答案】3
【分析】先求出共轭复数，再得到复数的虚部.
【详解】，所以，所以z的虚部为3.
13．【答案】
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
14．【答案】
【分析】在直角三角形中求出,，再由余弦定理计算可得.
【详解】在中，，所以米，
在中，米，
在中，
，则米．
15．【答案】（1），
（2）
【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
；
（2）．
【关键点拨】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题.
16．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）由线面垂直的性质和判定可得证；
（2）由线面垂直的性质和判定可得证.
【详解】（1）证明：因为底面ABC，底面ABC，所以，
又，，平面PAB；所以平面PAB；
（2）证明：由（1）得平面PAB，又平面PAB，所以，
又D为BP的中点，，所以，
又，平面PBC，所以平面PBC.
17．【答案】(1)众数为70，平均数为65
(2)
【分析】(1)根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；
(2)先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
众数为；
5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，
所以平均数为
；
（2）由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，
则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，
所以按分层抽样的方法抽到的6人中，
第一组抽2人，记为；第二组抽4人，记为，
则，
设事件为抽到的2人来自不同的组，
则，
所以.
18．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用面积公式可得，即可得证；
（2）由余弦定理及（1）的结论可得，再由正弦定理将边化角，即可得到或，再分类讨论，得到，则，再由求出，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，所以，又，
所以，则，即，
所以；
（2）由余弦定理得，
由（1）得，所以，即，由正弦定理可得，
因为在锐角中，所以，，所以或，
若，则，所以，，与为锐角三角形矛盾，舍去；
所以，故，即，所以，解得，，
所以的周长为.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）运用垂直条件找出二面角的平面角，得到，取AB中点F，连接EF，借助中位线证明平行，进而得到四边形PQEF为平行四边形，再运用线面平行的判定定理即可；
（2）过B作于点M，得到平面，得到平面平面ABC，运用面面垂直性质得到平面PACQ， 得到即为所求线面角.再结合勾股定理和余弦定理求线段长度，借助锐角三角函数求解角的正弦值即可.
【详解】（1）证明：因为平面PAB，平面PAB，所以，
因为，所以，
因为，平面，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以．
因为，，所以二面角的平面角即为，所以，
因为平面PAB，平面PAB，所以，
因为，所以，
取AB中点F，连接EF，则，
又，所以，
所以四边形PQEF为平行四边形，
所以，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；
（2）过B作于点M，因为平面PACQ，平面，
所以平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM，
所以即为所求线面角，
，而，
由勾股定理可得，
在中，过点Q作于点N，
易知四边形为正方形，
则，
因为，则，所以是等腰直角三角形，所以，，
由余弦定理得，
由勾股定理得，
所以，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为．