广东省八校联盟2024-2025学年高二下学期教学质量检测（二） 数学试卷（含解析）

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A 62B. 102C. 152D. 540
2. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①函数在上单调递减；②函数在上单调递减；③函数在处取得极小值；④函数在处取得极大值.
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3. 已知的分布列为
则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等差数列中，为其前n项和，若，则
A. 60B. 75C. 90D. 105
5. 若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
6. 14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A. 181440B. 2016C. 1080D. 1512
7. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A 1B. 2C. D.
8. 已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（ ）
A. 1B. C. 13D. 14
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中各项二项式系数之和为
B. 若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则
C. 若展开式中的系数为160，则
D. 若奇数，令，则
10. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 某种疾病在某地区人群中发病率为0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为0.02，患病人群检测为阴性的概率为0.05.设事件A=“某人不患该病”，B=“该人被检出阳性”，则（ ）
A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.999
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为0.045
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．
13. 如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是__________.

14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某地工商质检部门“3.15”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌（其外包装形状、大小、材质都相同）的甲、乙两类共9个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类3个，乙类6个，每次从纸箱中随机抽出1个进行检验，抽出的化妆品不再放回.求：
（1）在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类化妆品的概率；
（2）第二次抽到甲类化妆品的概率.
16. 已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和．
17. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
（Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望.
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据：.
19. 抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
（3）取了，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出概率．