安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023−2024学年高二下学期7月三市联合期末检测 数学试题（含解析）

这是一份安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023−2024学年高二下学期7月三市联合期末检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
2．某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲、乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（ ）
A．24种B．12种C．8种D．6种
3．安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．在等比数列中，，则（ ）
A．6B．192C．或192D．6或
5．已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得.空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下：
其中a，b为非负数.若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ）
A．，
B．函数有三个零点
C．
D．过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为
11．已知数列满足，（），数列前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．展开式中x的一次项系数为，则实数a的值为 .
13．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 .
14．已知正实数x，y满足，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列中，，数列是等比数列，且公比.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求.
16．如图，四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，为中点且.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围.
18．某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其中打中十环的数量为.
(1)若，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）；
(2)要使的值最大，求n的值；
(3)设随机变量X的数学期望及方差都存在，则，，，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值.
19．已知函数，，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)证明：当时；
(3)对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用经验回归方程经过点,即可求出结果.
【详解】将代入方程，解得.
故选B.
2．【答案】D
【分析】先排甲、乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
= 1 \* GB3 ①甲、乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲、乙看成一个整体，有1种顺序，
= 2 \* GB3 ②将甲、乙整体与丙、丁全排列，有种情况，
则有种排法.
故选D.
3．【答案】C
【分析】根据正态曲线的性质计算可得.
【详解】因为且，则，
所以.
故选C.
4．【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式进行求解，即可求出答案.
【详解】由题意，，在等比数列中，，，
设公比为q，，即，
解得或，
，
当时，，
当时，.
故选D.
5．【答案】C
【分析】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程.
【详解】由题意，可设圆的方程为，
令，得，
设，则，，
，
解得，
则圆的方程是，即.
故选C.
6．【答案】A
【分析】先找出BD的中点O为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可.
【详解】如图，取BD的中点为O，
由正方形ABCD的边长为2，则，
因此O为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，
则有，即，
当截面时，d最大，此时截面面积最小，且，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
此时，
所以截面面积最小值为.
故选A.
7．【答案】B
【分析】令，不等式转化为，构造函数，求导得到函数单调性，结合，得到，根据单调性解不等式，求出解集.
【详解】令，则，
所以不等式等价转化为不等式，即，
构造函数，则，
由题意，，所以为上的增函数，
又，所以，
所以，解得，即，
所以.
故选B.
8．【答案】C
【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解.
【详解】由题意，斜率都存在，
设，，，
直线l的斜率，
直线l方程：，化简得
同理直线QT方程：，直线PT的方程：，
点，分别代入直线QP，QT方程，
即，消除，得，
代入直线PT方程：，得，
直线PT过定点.
故选C.
9．【答案】AD
【分析】AB选项，根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，；CD选项，根据期望和方差的性质得到，得到答案.
【详解】AB选项，由分布列的性质，可得 = 1 \* GB3 ①，
因为，所以 = 2 \* GB3 ②，
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②解得，，A正确，B错误；
CD选项，因为，
所以，，C错误，D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【分析】对于A，对函数连续两次求导，然后利用“拐点”的定义，列方程组可求出，
对于B，对函数求导后由导数的正负，可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断，
对于C，由函数的对称中心点得，结合此结论求解即可，
对于D，设切点为，然后利用导数的几何意义，求出切线方程，转化为关于的方程有3个不相等的根，结合图象求解即可.
【详解】对于A，由，可得，则，
因为是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知，
且，解得，，所以A正确；
对于B，由，，可知，则，
令，可得或，
当，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因为，，，
所以函数只有两个零点，所以B错误；
对于C，因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，
即，
所以C正确；
对于D，设切点为，由，得，则切线的斜率为，所以切线方程为，即，
因为切线经过点，所以，化简得，
由题意可知关于的方程有3个不相等的根，
令，则，
由，得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
所以的大致图象如图所示，
由图象可知当时，直线与的图象有3个交点，
所以当时，关于的方程有3个不相等的根，
所以当时，过可以作三条直线与图象相切，所以D正确，
故选ACD.
11．【答案】ABD
【分析】根据数列的单调性判断A，应用累加法求出通项范围判断B,C选项，应用前n项和判断D.
【详解】，，
又，可得，，
，数列单调递减，故选项A正确；
当时，；
当时，，故选项D正确；
，，
，，，
，，故选项B正确；
又，，
，，…，，，
，（）；当时，.
综上，.故选项C错误.
故选ABD.
12．【答案】2
【分析】求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出，从而可表示出一次项系数，列方程可求出a的值
【详解】的展开式通项为（，），
令，解得，
的展开式的常数项为，
，.
故答案为：2.
13．【答案】/
【分析】由题意可得四边形为矩形，在直角三角形中，利用勾股定理列方程化简可求出离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为c，可得，即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，，
即有，可得，即.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】等价变形已知条件为，构造函数，然后利用单调性，由，得出，从而可以将所求式子构造新的函数，再一次借助导数求最值即可.
【详解】等式两边同乘，得，则，
因为，，，所以，令（），则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，
令（），则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案；
（2）结合（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.
【详解】（1）由题意知，，
所以等比数列的首项为，公比为3，
故，所以；
（2）由（1）得，
故
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到两次线面垂直，再利用面面垂直的判定定理求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
，，故，
所以，因为，面，
，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为等边三角形，所以，
因为，面，
所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）设中点为，以分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，即，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，
，即，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
故.
17．【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求的值，从而得解；
（2）分的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解.
【详解】（1）已知，故，
的周长为，
故，，
故椭圆C的方程为；
（2）

= 1 \* GB3 ①当的斜率不存在时，则的斜率为0，
设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程，
解得，同理可得，所以，AB为长轴，
所以；
= 2 \* GB3 ②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：
，，
由韦达定理得，，，
所以，
同理，，
所以，
令，则，
所以，
因为，所以，此时，
所以，
则，即.
综上 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可知，的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)360
【分析】（1）应用n次独立重复实验求出概率即可；
（2）由概率最大值列出不等式组计算即可得出范围；
（3）根据二项分布的期望和方差结合由切比雪夫不等式计算即得.
【详解】（1）；
（2），
由题意有，则，
解得，由于n为整数，故；
（3），则，.
由题意，，
即，，也即.
由切比雪夫不等式，有，
从而，解得，故估计n的最小值为360.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）令，对函数求导，再令，求导后无法判断导数的正负，再令，对其求导后可判断单调递增，从而可判断单调递增，单调递增，进而可证得结论；
（3）令，求导后可判断时，在上单调递增，满足题意，当时，再分，和讨论即可.
【详解】（1）解：时，，，则切点为，
，，
故切线方程为；
（2）证明：令，，
令，则，
令，恒成立，
故单调递增，，即，
所以单调递增，，即，
得单调递增，，
所以原不等式成立；
（3）解：令，
，
求导得，
当时，，，则在上单调递增，
，满足题意，
当时，设，则，
因此函数，即在上单调递增，
而，
= 1 \* GB3 ①当时，，在上单调递增，
于是，满足题意；
= 2 \* GB3 ②当，即时，
对，，则在上单调递减，
此时，不合题意，
= 3 \* GB3 ③当时，因为在上单调递增，
且，
于是，使，且当时，单调递减，
此时，不合题意，
所以实数a的取值范围为.1
2
3
P
a
b