安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试卷（含答案）

这是一份安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、数列-3，，，，的第11项是( )
A. B. C. D.
2、下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3、已知变量x,y之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为，若，则( )
A.12 B.19 C.31 D.46
4、随机变量，若，则( )
A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2
5、如图，在正四棱台中，，则与平面所成角大小为( )

A. B. C. D.
6、甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放人乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
7、2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有( )
A.162种 B.150种 C.120种 D.114种
8、已知，,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知圆，下列说法正确的是( )
A.圆心为 B.半径为2
C.圆C与直线相离 D.圆C被直线所截弦长为
10、关于的展开式，下列结论正确的是( )
A.二项式系数和为1028 B.所有项的系数之和为
C.第6项的二项式系数最大 D.项的系数为360
11、素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为）拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，，下列说法正确的是( )

A.平面EMN
B.PE与所成角的余弦值为
C.平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为
D. 几何体的体积为
12、形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是( )
A.渐近线方程为和
B.的对称轴方程为和
C.M,N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN,OP的斜率之积为定值
D.Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A,B两点，则的面积为定值
三、填空题
13、已知随机变量X的分布列如表，则X的均值___________．
X
-1
0
1
2
P
0.1
0.3
m

14、已知抛物线的焦点为F，过F的动直线l与抛物线交于A,B两点，满足的直线l有且仅有一条，则__________．
15、已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为___________．
四、双空题
16、已知数列满足，,且，若（其中表示不超过的最大整数），则________；数列前2023项和___________．
五、解答题
17、在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知向量，且满足_________．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，,求的面积．
18、记为数列前n项和，已知,．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，证明：．
19、如图1，已知正三棱锥,,M,N分别为AB,BC的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点P的展开点分别为，点B的展开点分别为B,），其中的面积为．在三棱锥中，

（1）求证：平面PMC；
（2）求平面PAC与平面PMN夹角的余弦值．
20、为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下列联表：
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
20
20

不优秀
10
50

合计



（1）完成列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?
参考公式：，其中．
参考数据：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3841
6.635
7.879
10.828
21、已知椭圆：的一个焦点为F，椭圆上的点到F的最大距离为3，最小距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆左右顶点为A,B，在上有一动点P，连接PA,PB分别和椭圆交于C,D两点，与的面积分别为,．是否存在点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
22、已知函数．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）已知时，讨论函数零点个数．
参考答案
1、答案：A
解析：数列的一个通项公式可以是，
则
2、答案：C
解析：,故A错误;
,故B错误;
, 故C正确;
, 故D错误.
3、答案：B
解析：因为, 所以, 因为, 且过点,所以, 解得,则.
4、答案：D
解析：由，可得,由对称性可得,
由,得.
5、答案：B
解析：将该正四棱台补成正四棱锥,设ABCD的中心为O,
则与平面所成角为,易知,
则在直角三角形PAO中,.
6、答案：C
解析：从甲盒中取出2个红球的概率为, 从甲盒中取出2个黑球的概率为,
从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为,
由全概率公式,从乙盒中随机地取出1个红球的概率.
7、答案：D
解析：先将5人分成三组的分法有种,其中甲乙同组的分法有 种,符合要求的分组有种, 再进行分配,共有种.
8、答案：A
解析：设，，，
设,则,
则在单调递增,, 即,
所以在单调递增, ,所以,即.
设，
设,
则在 单调递减, , 则 ,
记可得.因此有.
9、答案：BD
解析：将圆化为标准方程得,可知圆心,半径R为2,故A错误, B正确;到直线的距离,故C错误;圆心到直线的距离为1 ,由垂径定理可得弦长为,故D正确.
10、答案：BC
解析：的展开式二项式系数和为, 故A错误; 令 ,可得中所有项的系数之和为 , 故B正确; 的展开式中第6项的二项式系数最大,为,故C正确; 的展开式的通项为,令 得,此时,所以 项的系数为180 ,故 D 错误.
11、答案：ACD
解析：由，可知 P, Q, M, N均为棱上的四等分点, E, F为棱上的中点,
易得,，所以,故,
同理可得,又, 所以平面EMN,故A正确;PE与所成角即为PE与EF所成角,在PEF中,,所以PE与EF所成角的余弦值为,故 错误;该十字穿插体的外接球球心即为长方体的中心O,半径,
球心O到平面EMN的距离d,即为球心O到长方体侧面的距离, 所以,所以截面圆的半径 ,所以截面面积为, 故C正确;几何体可取为 ,
设其体积为x,,则,
所以,故D正确.
12、答案：ABD
解析：是双曲线, 函数图象无限接近和,但不相交,
故渐近线为和,故A正确;
是双曲线,由双曲线的性质可得,对称轴为渐近线的角分线,且互相垂直,
一条直线的倾斜角为,其中,
由二倍角公式可得,,解,
故,另一条直线的斜率为,故B正确;
设,所以,
故,故 C 错误;
设,Q处切线方程为,
切线和渐近线,交点为A,B,可得,故面积为2 ,故D正确.
13、答案：0.9
解析：,解得,则.
14、答案：2
解析：设交点坐标为,过F的直线为,与拖物线联立可得, ,故.
,
故当时,动直线有且仅有一条, 即,故.
15、答案：
解析：,即, 两边同时除以x得.
换元令,可求的范围是,故.
上述不等式转化为,转化为 恒成立.
构造函数,所以时取最大值,故.
16、答案：;1685
解析：,两式相减得,
因为,所以,则数列的周期为6 ,则数列的周期也为6,
由题意得,
则，，，，
17、答案：(1)选条件①选条件②函数的最小正周期为
(2)或 27
解析：(1)选条件①

选条件②
，，

所以函数的最小正周期为;
(2)选条件①,则,
因为, 所,
所以, 即.
在中, 由余弦定理
得,解得或 9 .
当时 ,
当时 .
所以的面积或 27.
选条件②
,则,
因为,所以,
所以,即.
在中,由余弦定理得,
解得或9.
当时,
当时.
所以的面积或27.
18、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1),,
两式相减可得,, 可得,
又
也符合.
,,
,
故;
(2)证明:.
前n项和.
19、答案： (1)见解析
(2)
解析：(1)证明:因为三棱锥为正三棱锥,M为AB的中点,
所以,
又因为,PM,平面PMC,
所以平面PMC;
(2)如图1,在平面展开图中过作直线MN的垂线,垂足为E,
垂线交AC于点F,所以,
易知,可得 ,在正三角形ABC中,易得,
所以,在 中,.

解法一: 如图 2, 以A为坐标原点, 建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设 为平面PAC的一个法向量,
因为,
所以, 即,
令,可得.
设 为平面PMN的一个法向量,
因为,
所以, 即,
令,可得 .
设平面PAC与平面PMN夹角为,
,
所以平面PAC与平面PMN夹角的余弦值为.

解法二:如图 3,设平面PAC与平面PMN的交线为l,
因为, 所以 平面PAC, 所以,
在等腰三角形PAC中,,
在等腰三角形PMN中,,所以,
则为平面PAC与平面PMN的夹角(或其补角)
,,则在等腰三角形PMN中,,
在三角形PEF中,,由余弦定理得,
所以平面 PAC与平面PMN夹角的余弦值为.

20、答案：(1)能认为数学成绩与物理成绩有关联, 这个推断犯错误的概率不大于0.001
(2)5
解析：(1)零假设:数学成绩与物理成绩无关联,补充列联表为
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
20
20
40
不优秀
10
50
60
合计
30
70
100

根据小概率值的独立性检验, 有充分证据证明推断不成立,
故能认为数学成绩与物理成绩有关联, 这个推断犯错误的概率不大于0.001
(2)由频率估计概率可得,任取一个学生数学成绩优秀的概率为, 设12个学生中数学成绩优秀的人数为,随机变量,人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值.
设,
(且)
当时,,当时,,故时,取得最大值,
故数学成绩优秀的最有可能是5个人.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得,椭圆上的点到焦点的最大距离为,最小值为,解得,故椭圆的标准方程为;
(2)存在点P使得,
设,
设C, D横坐标为,由相似可得上式,
整理得,①
设P点坐标为,直线PA斜率为,
PB斜率为,
故,设直线PA的斜率为k,
故直线PA方程为 ,直线PB方程为 ,
将直线PA和椭圆联立 可得,
由韦达定理可得,解得,
将直线PB和椭圆联立可得,
由韦达定理可得,解得,
将 C, D横坐标代入①式可得,
整理得,
化简得,解得,即 ,
故P点坐标为.

22、答案：(1)
(2)当 时,零点个数为0;
当 时,公零点个数为1;
当时,零点个数为2
解析：(1)当时,,
则切线斜率,切点为,所以切线方程为,即;
(2),,
①当 时,，在R上单调递增,
又因为,所以有一个零点.
②当 时,令, 得.
当时，;当时,
则在 单调递减,在单调递增.

设,
则,,
当 时, 在 单调递增,
当 时, 在 单调递减,
.
即当时,,
又因为当时,,当时,,则 有两个零点;
当时,,则 有一个零点;
当时,,则没有零点.
综上所述,当 时,零点个数为0;
当 时,公零点个数为1;
当时,零点个数为2.