云南楚雄彝族自治州2023~2024学年高二下册7月期末教育学业质量监测数学试卷[附解析]

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（）
A. B. C. D.
2. 某同学测得连续7天的最低气温（单位：℃）分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为（）
A. 15B. 17C. 17.5D. 18
3. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
4. 设等比数列的前项和为，则（）
A. B. 63C. D. 31
5. 已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（）
A. B.
C. D.
6. 在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是（）
A. B. C. D.
7. 设点，若在圆上存在两点，使得四边形正方形，则（）
A. B. C. D.
8. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 复数满足，则（）
A. 为纯虚数B.
C. 的实部不存在D. 复数在复平面内对应的点在第二象限
10. 已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（）
A. 为奇函数B. 为偶函数
C. 在上可能单调递增D. 在上可能单调递减
11. 已知椭圆左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（）
A. B. 的离心率为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为等腰直角三角形，，若，则______．
13. 设是等差数列的前项和，且为常数，则______．
14. 在平行四边形中，是线段的中点，沿将折起，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）已知，求面积的最大值．
16. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在一个牌堆中有6张牌，分别标有数字0，1，2，3，5，7．
（1）规定每次随机翻出一张牌，若数字为奇数，则放回这张牌，若数字为偶数，则不放回这张牌，求第二次翻出数字是偶数的概率．
（2）规定每次随机翻出一张牌，然后放回，若数字为奇数，则得1分，若数字为偶数，则得2分，翻牌次数不限，直到总得分达到或超过5分，游戏结束．设游戏结束时翻牌的总次数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．
18. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程．
（2）设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．
（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．
（ⅱ）求面积最大值．
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．