陕西渭南大荔县2023~2024学年高一下册期末质量检测数学试卷[附解析]

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注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.选择题用 2B 铅笔将正确答案涂写在答题卡上；非选择题用 0.5mm 黑色墨水签字笔答在答题
卡的指定答题区域内，超出答题区域答案无效.
3.答题前，请将姓名､考号､试卷类型按要求涂写在答题卡上.
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 是虚数单位，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得 ，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
所以 对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
2. 已知向量 ，则与向量 方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得.
【详解】向量 ，则 ，
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所以与向量 方向相反的单位向量是 .
故选：C
3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1 密位就是圆周的 所对的圆心角的大小，.
若角 密位，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由密位制与弧度的换算公式可得， ，从而可得解．
【详解】因为 1 密位等于圆周角的 ，
所以角 密位时， ，
故选：C．
4. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用最小正周期为 排除选项 AC；利用在区间 上单调递减排除选项 D；选项 B 以 为最
小正周期，且在区间 上单调递减，判断正确.
【详解】选项 A： 最小正周期为 .判断错误；
选项 B： 最小正周期为 ，且在区间 上单调递减.判断正确；
选项 C： 最小正周期 .判断错误；
选项 D： 在区间 上单调递增. 判断错误.
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故选：B
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
所以 ，
所以
故选:B
6. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，下列命题为真命题的是（
）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形
分析.
【详解】如图，当 时， 与 可相交也可平行， 故 A 错；
当 时，由平行性质可知，必有 ，故 B 对；
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如图，当 时， 或 ，故 C 错；当 时， 可相交、平行，故 D 错.
故选：B.
7. 若△ABC 的内角 A，B，C 满足 ，则 csB＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理得出 ，再由余弦定理得出 .
【详解】因 ，所以 ，设
故选：D
8. 正三棱锥 的底面是面积为 的正三角形，高为 ，则其内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正三棱锥的结构特征求底面边长和侧棱长，利用等体积法求内切球半径，进而可得表面积.
【详解】由题意可知：正三棱锥 的顶点 S 在底面 投影为 的中心 O，
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设底面边长为 ，侧棱长为 ，其内切球的半径为 ，
由题意可得： ，解得 ，
由三棱锥的体积可得： ，解得 ，
所以其内切球的表面积为 .
故选：C.
二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线 轴对称 D. 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，由正弦型函数的性质，可得 的最小正周期为 ，所以 A 正确；
对于 B 中，由 ，所以 不是奇函数，所以 B 错误；
对于 C 中，由 不是函数 的最值，所以 的图象不关于 轴对称，所以 C
错误；
对于 D 中，由 ，可得 ，所以函数 的值域为 ，所以 D 正确.
故选：AD.
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10. 已知非零向量 ，以下命题正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或
D. 已知 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面向量垂直的性质判断 A，C，利用平面向量的线性运算结合向量数量积的定义判断 B，利
用平面向量的夹角公式求解夹角判断 D 即可.
【详解】对于 A，若 ，则 ，
故 或 ，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，
即 ，即 ，
则 ，
所以 ，即 ，故 B 正确，
对于 C，若非零向量 ，有 ，则 ，故 C 错误；
对于 D，若 ， ，得到 ，
则 ，
，
，
故 ，
所以 ，
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所以 ，又 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BD
11. 如图，若长方体 的底面是边长为 2 的正方形，高为 是 的中点，则正确的是
（ ）
A. B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为 D. 三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由 可判断 A；求出平面 和平面 的法向
量，不存在实数λ使得 ．可判断 B；求出三棱锥 的体积可判断 C；求出三棱锥
的外接球的表面积可判断 D.
【详解】解：以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ．
因为 ，所以 与 不垂直．故 A 错误．
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则由 得 所以
不妨取 ，则 ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
则由 得 所以
不妨取 ，则 ，所以 ．
故不存 实数λ使得 ．
故平面 与平面 不平行，故 B 错误．
在长方体 中， ⊥平面 ，
故 是三棱锥 的高，所以
．故 C 正确．
三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，
故外接球的半径 ．
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，故 D 正确．
故选：CD．
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12. 如图所示，已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ，
为线段 的中点，射线 与单位圆交于点 ，则（ ）
A.
B.
C. 点 的坐标为
D. 点 的坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由角的定义求解可判断 A；由圆的性质及角的定义求解可判断 B；由三角函数定义求解可判断 C；
由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断 D.
【详解】对于 A：因为 ， ，所以 ，正确；
对于 B：依题意 为线段 的中点，则 ，则 ，
又 ，所以 ，正确；
对于 C： 为线段 的中点，射线 与单位圆交于点 ，则 为 的中点，
所以 ，
又 ，所以点 的坐标为 ，正确；
对于 D：
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，
，
所以点 的坐标为 ，错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若一个扇形的弧长和面积均为 3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式和圆心角的弧度数公式，即可得到答案；
【详解】 ，
，
故答案为：
14. 若 ，且 ，则 与 的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积公式得到 ，得到夹角.
【详解】设 与 的夹角为 ，
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，
即 ，解得 ，
又 ，故 .
故答案为：
15. 的值为________.
【答案】 .
【解析】
【分析】根据 ，展开化简得到答案.
【详解】 ，
故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.
16. 如图，在圆柱 内有一个球 ，该球与圆柱的上､下面及母线均相切.记圆柱 的体积为 ，球
的体积为 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，可得圆柱的母线长和球的半径，结合圆柱、球的体积公式运算求解.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的母线长为 ，球的半径为 ，
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则 ， ，
所以 .
故答案为： .
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）化简：
（2）已知 ，计算
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可；（2）利用弦切互化求解即可.
【详解】（1）
（2）
18. 求一个复数 z，使得 为实数，且 ．
【答案】 或 或 ，
【解析】
【分析】由题意，设 ， ，且 不同时为 0，则有 ，求解方程组即
可.
【详解】由题意，设 ， ，且 不同时为 0，
因为 ，即 ，
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所以 ，①
又 ，即 ，②
联立①②解得 ，或 ，经检验此时 ，
所以复数 或 或 ，
19. 如图，在三棱锥 中， ， 底面 ABC
（1）证明：平面 平面 PAC
（2）若 ，M 是 PB 中点，求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得到 ，再根据 底面 ABC，得到 ，然后利用线面
垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）作 ，连接 OM，由平面 平面 PAC，得到 平面 PBC，
则 即为 AM 与平面 PBC 所成的角求解.
【小问 1 详解】
证明：因为 ，
所以 ，又 底面 ABC，
所以 ，又 ，
所以 平面 PAC，
因为 平面 PBC，
所以平面 平面 PAC；
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【小问 2 详解】
如图所示：
作 ，连接 OM，
因为平面 平面 PAC，平面 平面 PAC=PC，
所以 平面 PBC，
则 即为 AM 与平面 PBC 所成的角，
设 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 AM 与平面 PBC 所成角的正切值为 .
20. 在 中，角 对应的边分别为 ，已知 ，求 的值.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得 或 ，分两种情况，利用正弦定理得到答案.
【详解】由正弦定理，得 .
因为 ，所以 ，于是 ，或 .
当 时， .可得：
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；
当 时， .可得：
，
故 .
21. 已知函数 的最大值为 1，
（1）求常数 的值；
（2）求函数 的单调递减区间；
（3）求使 成立的 x 的取值集合.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用两角和与差的公式化简成为 的形式，根据三角函数的性质可得 的值．
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（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（3）根据三角函数的性质求解 成立的 的取值集合．
【详解】（1）由题意：函数 ，
化简得：
，
的最大值为 1，
，解得： ．
（2） 由（1）可知 ．
根据三角函数的性质可得： ， ．
即 ，
解得： ， ，
的单调递减区间为 ；
（3） 由题意： ，即 ，
可得： ．
， ．
解得： ．
成立的 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．
22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向
量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
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（1）若 为 的相伴特征向量，求实数 m 的值；
（2）记向量 的相伴函数为 ，求当 且 时 的值；
（3）已知 ， ， 为（1）中函数， ，请问在 的图象上是否
存在一点 P，使得 ，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）存在点 ，使得 .
【解析】
【分析】（1）利用特征向量的定义即得；
（2）根据题意可得相伴函数 ，再根据条件可得 ，由
最终得到结果；
（3）由题可得 的解析式，设 ，根据条件列出方程式求出满足条件的点 P 坐标即可.
【小问 1 详解】
∵ ，
又 为 的相伴特征向量，
∴ ；
【小问 2 详解】
∵向量 的相伴函数为 ，
又 ，
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.
， ，
，
∴ ；
【小问 3 详解】
由题可知 ，
∴ ，
设 ， ，
， ，
又 ，
，
，
即 ，
，
， ，
，
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又 ，
当且仅当 时， 和 同时等于 ，
在 图像上存在点 ，使得 .
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