山东聊城某校2024~2025学年高二下册第二次月考数学试卷[附解析]

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1. 下列说法正确的个数是（ ）
①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强；
②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系；
③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；
④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可．
【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确；
独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误；
回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确；
回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确；
故选：C．
2. 某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A. 246B. 252C. 286D. 293
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态曲线的性质计算可得.
【详解】因为，所以，，
所以
，
又，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为个.
故选：D
3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A. 300种B. 210种C. 120种D. 60种
【答案】B
【解析】
【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案.
详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种，
乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法
第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，
第二种是乙、丙各安排2名有，
第三种是乙安排3名丙安排1名，
所以根据分步算法可得种.
故选：B
4 若，则（ ）
A. 4048B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过赋值法令即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
结合，知均为负值，
，
令，得，
故，
故选：D.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小.
【详解】令，求导得，即函数在上单调递减，
则，即，因此；
令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，因此，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
6. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：.则下列说法不正确的是（ ）
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点的残差为0.1
【答案】D
【解析】
【分析】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的定义计算可判断D.
【详解】选项A：由题意得：，
因为，，所以，得，
因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；
选项B：由A知，，得，故B正确；
选项C：由B得，则当时，，
故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确；
选项D：当时，，
相应于点的残差为，故D错误，
故选：D.
7. 已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得两种情况下的,,,比较可得结论.
【详解】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，
则
从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,
从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，
,
．
故选：A．
8. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】即函数图象与直线有且仅有两个交点，通过导数画出函数图象，即可得答案.
【详解】，则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点.
又，则当时，，得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.
又时，，据此可得大致图象如下：
则.
故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）某商家统计了最近5个月某产品的销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则（ ）
A. 由题中数据可知，变量y与x负相关
B. 当时，残差为0.2
C. 可以预测当时销量约为2.1万只
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解.
【详解】对于A，由题中数据可知，随着x变大，变小，则变量y与x负相关，故A正确；
对于D，由表中数据可知，，，
又因为，则，解得,故D正确；
对于B，当时，残差为,故B错误；
对于C，当时，，
故可以预测当时销量约为2.1万只，故C正确.
故选：ACD.
10. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案.
【详解】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，
每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确；
B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，因为，所以，
又，故，D错误.
故选：AB.
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值为
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在区间上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用导数分析讨论 函数单调性和极值情况，即得A项；解方程即可判断B项；利用的单调性可判断C项；将等价转化成，求得在上的最大值，即可判断D.
【详解】由知其定义域为，，
则当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
对于A：由上分析知，在时取得极大值，故A正确；
对于B：令，解得，故函数只有一个零点，故B错误；
对于C：因为，即，
又，故，
因为在上单调递减，则，
即，故C正确；
对于D：由可得，
令，则，由可得，
则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
故，故得，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案.
【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论，
若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、，
共有种不同方法．
若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有，
最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法，
综上，所有的涂法共有种.
故答案为：
13. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则____________.
【答案】2
【解析】
【分析】设白球的个数为，则红球和黑球的个数为，记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件，由此求出白球的个数；得出的取值可能为0，1，2，3，求出的分布列和数学期望，再由期望性质求解．
【详解】设白球的个数为，则黑球和红球的个数为；
记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件；
所以，解得，
所以白球的个数为5；
从袋中任意摸出3个球，到白球的个数的取值可能为：0，1，2，3；
则，，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望，
则．
故答案为：2
14. 已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果.
详解】由题意得，，故，
取，，，
当，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
为函数的极值点，满足要求，故，
所以即在上恒成立，
只需在上恒成立；
令，则，令，解得；
当时，，可知在上单调递减；
当时，，可知在上单调递增；
所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点，
故，即，
即只需即可.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为．
（1）求的值及展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大项．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得展开式的通项为，根据题意，列出方程求得，进而求得展开式的常数项；
（2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，结合，求得的值，代入即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，可得二项式展开式的通项为，
因为第项与第项的二项式系数之比为，可得，即，解得（负值舍），
所以，令，得，所以展开式的常数项为.
【小问2详解】
解：设展开式中第项的系数最大，
则，可得，解得，
因为，所以，所以系数最大的项为
16. 某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望.
【小问1详解】
甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
【小问2详解】
由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以的分布列为：
期望.
17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
【答案】（1）0.95，相关程度较高
（2），9.4亿元. ，
【解析】
【分析】（1）由公式计算出相关系数后可得；
（2）求出线性回归方程，通过线性回归方程估算即得．
【小问1详解】
由表中数据可知，，，
，，，
则，
因为，故相关程度较高；
【小问2详解】
，，则，
，
故，
令，解得，故研发投入至少9.4亿元.
18. 由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
（2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
【答案】（1）能； （2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，与临界值对比，即可求解.
（2）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解．
【小问1详解】
零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.001.
【小问2详解】
从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为：
数学期望.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明不等式：；
（3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可；
（2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明；
（3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，在上单调递减，
当时，令，解得：，
令，则在上单调递增．
令，则在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
当时，，要证明：；
即证：，即证：，
设，
令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，，
．即：，
；
【小问3详解】
由题意得：在上恒成立，
整理得：，
参变分离即证在上恒成立，
令，则只要证明的最大值即可．
．
令解得：，
（列表如下）
在上单调递增，在上单调递减，
，
则实数b取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题.
时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号
1
2
3
4
5
6
百亿元
11.1
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
0
1
2
3
0
1
2
3
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男性
30
70
100
女性
60
40
100
合计
90
110
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
x
1
0
单调递减
0
单调递增
x
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减