山东百师联盟2024~2025学年高二下册5月联考数学试卷[附解析]

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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意，，而集合
所以.
故选：B
2. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出存在量词命题的否定，再由恒成立列式求解.
【详解】由“”是假命题，得“”是真命题，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D
3. 用数字、、、、组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先从个数字中选择个数字，将取出的个数字中最大的一个作十位上的数字，另外个数字分别作百位和个位上的数字，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】从数字、、、、中取出个数字，有种取法；
将取出的个数字中最大的一个作十位上的数字，另外个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法.
由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个，
故选：B.
4. 已知，则的最小值是（ ）
A. B. 1C. 4D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.
故选：A
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 经验回归直线必经过样本点中心
B. 样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强
C. 在残差图中，残差点所在水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
【答案】A
【解析】
【分析】利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的意义判断B；利用残差图的特征判断C；利用独立性检验判断D.
【详解】对于A，经验回归方程必经过样本点中心，A正确；
对于B，样本相关系数的绝对值越大，两个变量的相关程度越强，B错误；
对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，C错误；
对于D，由，根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断与有关联，不可以判断此推断犯错误的概率不超过0.05，D错误.
故选：A
6. 随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,Eξ=1,则Dξ等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合期望的公式可先求出，再由方差公式即可求出结果.
【详解】设, 则由题意可得P(ξ=2)=，又，所以,所以，即，所以，所以.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题型.
7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率为 （ ）
A. 0.05B. 0.475C. 0.525D. 0.45
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
【详解】设“接收信号为1”，“发送信号为1”，则“发送信号为0”，
依题意，，，，
则，
所以接收信号为1的概率为0.525.
故选：C
8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. -1B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得在区间上，函数与有相同的零点，且符号相同，然后由相同零点得出关系，把化为一元函数，再利用导数求得最小值.
【详解】，，因为恒成立，
所以在区间上，函数与有相同的零点，且符号相同.
解，得，解，得，
所以，解，得，所以，所以.
令，则，
解，得，解，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设切点为，利用导数求出函数在处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得，根据题意得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】设切点为，对函数求导，得，则切线的斜率，
即切线方程为.
因为切线过点，所以，化简得，
因为切线有条，所以，解得或.
故选：AD.
10. 下列结论正确的有（ ）
A. 若随机变量服从两点分布，，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据两点分布，求得其分布列，结合数学期望与方差的计算公式，可得其正误；对于B，根据方差的性质公式，可得其正误；对于C，根据二项分布的概率计算公式，可得其正误；对于D，根据正态分布的对称性，可得其正误.
【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，
则，则，
，故A正确；
对于B，若随机变量的方差，则，故B正确；
对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C错误；
对于D，若随机变量服正态分布，，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知集合，现随机选取集合中4个元素组成集合的4元子集（记为）.记该子集中的最小数为，则下列说法正确的有（ ）
A. 不同的个数为
B. 的取值范围是
C. 在所有集合中随机取1个，则取到的的概率为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式判断A；求出的所有可能值判断B；求出古典概率判断C；求出期望判断D.
【详解】对于A，从10个不同元素中取出4个就构成1个，不同的个数为，A正确；
对于B，当集合时，，B错误；
对于C，由，得中其他3元素均比4大，则其他3个元素取值集合为，
当时，的个数为，因此取到的的概率为，C正确，
对于D，的可能值为1，2，3，4，5，6，7，则，，
由离散型随机变量的均值，得，
而，，
因此，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______________.
【答案】11
【解析】
【分析】先求出导函数，再代入计算求值.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：11.
13. 的展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可.
【详解】的二项展开式的通项公式为：，
因为，
故的展开式中含项为：
其系数为.
故答案为：.
14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】通过指对互化把原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解.
【详解】因为，对恒成立，所以，，
所以，所以，
令，则，
因为，所以在上为增函数，所以，
所以，令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，所以，
所以，所以a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，利用指对互化对不等式同构变形，然后利用导数研究单调性和最值，分离参数，再利用导数研究最值即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布.
（1）若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩.
（2）参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差.
参考数据：若随机变量，则，，.
【答案】（1）83； （2），
【解析】
【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得.
【小问1详解】
因为，
又正态分布中，，
所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83；
【小问2详解】
记小王答对题的数量为，则，
由题意得，
则，
所以，
.
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出导数，利用给定的极值点求出，进而求出单调区间.
（2）由（1）结合已知，利用单调区间求出最值.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
则，由，得或；
由，得，则为的极小值点，符合题意
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因此，而，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
17. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了名参赛人员，得到如下不完整列联表：
（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
（2）用频率估计概率，现随机采访名女性参赛人员与中男性参赛人员，设表示这人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望.
附：，.
【答案】（1）答案见解析，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）完善列联表，提出零假设不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）由题意可得性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为，随机变量可能的取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【小问1详解】
根据题意，完整的列联表如下
零假设不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
根据列联表中的数据，计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异.
【小问2详解】
由列联表，得女性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为，
由题意可知，可能的取值为、、，
，，，
故的分布列为
故数学期望.
18. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%.
（1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；
（3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得.
（3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
甲工厂试生产件零件的合格率为80%，则合格零件为件；
乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件，
混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件，
依题意，，化简得，即.
【小问2详解】
设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，
则，，
所以所求概率.
小问3详解】
由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是，
依题意，的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以的分布列为
的数学期望.
19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中．
（1）试讨论函数单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；
（2）不存在；理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分和分别讨论值的符号作答.
（2）根据给定条件，求出斜率k，在成立时可得，分析整理并构造函数，利用函数探讨单调性质即可推理作答.
【小问1详解】
函数定义域为R，求导得，而，
则当时，即在R上为增函数，
当时，由，得，即，解得或，
则有或，由，解得，
所以在上递减，在和上递增．
【小问2详解】
依题意，，求导得，
有两个极值点，即在上有两个不等根和，则，且，
因为，
则，若存在a，使得，则，
即，不妨令，亦即成立，
令，，，因此在上递增，
，于是得当时，不成立，
所以不存在a，使得.
【点睛】思路点睛：涉及的双变量函数问题，不管待证的是两个变量的等式或不等式，还是导函数的值的等式或不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
满意度
性别
合计
女性
男性
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非常满意
合计
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
满意度
性别
合计
女性
男性
比较满意
非常满意
合计
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2
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