辽宁抚顺第一中学2023~2024学年高一下册7月月考数学试卷[附解析]

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考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
4. 在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ）
A B. C. D.
5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，四棱锥的底面为矩形，且平面，若，则下列结论错误的是（ ）
A. 直线与平面所成角的正弦值为B. 平面平面
C. D. 二面角的余弦值为
7. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
8. 如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，四边形斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 四边形的周长为D. 四边形的面积为
10. 已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D. 面积的最大值为2
11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ）
A. 的面积为定值B.
C. 点到直线的距离为定值D. 二面角的大小为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________.
13. 在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，则直线与所成角的大小为______.
14. 如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，.当是棱的中点，则三棱锥体积为________；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图，四棱柱的底面是正方形，．
（1）证明：平面∥平面；
（2）证明：平面平面．
16. 在直三棱柱中，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
17. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：．
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．
19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为4等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设.
（1）设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长；
（2）若是以为底边的等腰三角形；
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2.