江苏淮安涟水县第一中学2024~2025学年高二下册5月月考数学试卷[附解析]

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考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）
1.已知集合，B={x∈N|x2−3x≤0}，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2.已知p:x=−1且y=2，q:xy=−2，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3.下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5.已知平面的一个法向量为n=(2,1,1)，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． 63 D．
【答案】C
6．已知P(A|B)=37，P(B)=79，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7.已知随机变量服从二项分布.若，D(3ξ+2)=144则（ ）
A．72 B．36 C．24 D．18
【答案】A
8.若函数，满足，且，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.）
9.下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．命题“，”的否定是真命题
D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
10.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
B．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法
【答案】AD
11.已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．增加两个样本点后的平均数为1.2
D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
【答案】ACD
三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）
12.已知随机变量，若，则 【答案】0.15/
13．函数的定义域是 【答案】
14.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为
【答案】
四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分）
15．（13分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
解：（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：.……………………………………………3分
乙机床生产的产品中一级品的频率为： ……………………………………………6分
（2）由题意： .……………………………………………9分
因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 .……………………………………………13分
16.（15分）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
解：（1）依题意，的可能值有 .………………………………………2分
则，，.………………………………………5分
则的分布列为：
……………………………………9分
（2）由（1）中的分布列，可得 ………………………………………12分
.………………………………………15分
另解：因
则
17．（15分）已知二次函数．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若，且，求的最小值．
解：（1）不等式的解集为，则，且的两根为和，
则，所以 ………………………………………7分
（2）由，可得，即
又，所以 1a+4b=1a+4ba+b=5+ba+4ab≥5+2ba∙4ab=9
当且仅当时，即时等号成立.………………………………………15分
18．(17分)已知的展开式中共有7项.
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求的展开式中含的项的系数.
解：（1）由，解得 ………………………………………5分
（2）由（1）知展开式的通项为，
所以二项式系数最大的项为………………………………………10分
（3）由（2）分析可知令，得，即；
令，可得.
综上：展开式中的系数为 ………………………………………17分
19．（17分）如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且.
(1)证明：.
(2)求的长的最小值.
(3)当的长取得最小值时，求二面角的正弦值.
解：（1）取分别为线段的中点，连接，
在三棱柱中，平面是等边三角形，
所以，
又且是平面内两条相交直线
所以平面平面，
可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．，设.可得
因为，
所以 ………………………………………5分
（2）由（1）可知
令，根据二次函数的最小值可知，
当时，取最小值为，
所以的长的最小值为 ………………………………………10分
（3）当的长取得最小值时，即，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则 ………………………………………12分
设平面的法向量为，则
，令，则 ………………………………………14分
设二面角的平面角为，所以
所以，二面角的正弦值 .………………………17分一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828