海南直辖县级行政单位定安县2023~2024学年高一下册7月期末考试数学试卷[附解析]

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化简，再根据复数的几何意义求解即可
【详解】，在第一象限
故选：A
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与几何意义，属于基础题
2.一组数据：155，156，156，157，158，160，160，161，162，165的第75百分位数是（ ）
A. 161B. 160.5C. 160D. 161.5
【答案】A
【解析】
【分析】结合百分位数的定义，直接求解即可.
【详解】由题意得此组数据已从小到大排列，此组数据共有10个数，
所以第75百分位数的位置为，
所以第75百分位数为第8个数161，故A正确.
故选：A.
3.已知向量，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以
故选：B.
4.在中，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦边角关系及已知设，应用余弦定理求即可.
【详解】由正弦边角关系知：，令，
所以.
故选：A
5.蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A.平方米B.平方米
C.平方米D.平方米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，
设底面圆的半径为r，则，
则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），
故选：A
6.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】因为，
对于A，若，则与有可能异面，故A错误；
对于B，若，则，又，则，故B正确；
对于C，若，则有可能，故C错误；
对于D，若，则与有可能相交，故D错误．
故选：B．
7.已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（ ）
A B.C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数的定义求解即可.
【详解】由题意得，
得，
所以所求的平均数为.
故选：D.
8.已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积.
【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面，
且为的交点，且，
由正四棱锥的对称性可知在直线上，
设外接球的半径为，则其表面积为，所以，
则，故，解得或（舍），
故正四棱锥的体积为．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列等式成立的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项.
【详解】解：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；
B选项：，故B不正确；
C选项：，故C正确；
D选项：，解得：，又，所以，故D正确；
故选：ACD.
10.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B.若甲，乙两组数据的平均数分别为，则
C.若甲，乙两组数据的方差分别为，则
D.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.
【详解】由折线图得：
对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；
对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，故B正确；
对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；
对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．
故选：BD．
11.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是
A.异面直线AC与所成的角为60°
B.直线与平面成角为45°
C.二面角的正切值为
D.四面体的外接球的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球.
【详解】如图所示，连接，
对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确；
对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误；
对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确；
对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为__________．
【答案】50
【解析】
【分析】直接利用分层抽样的定义求解即可
【详解】设这三种型号的零件共抽取的个数为个，
因为这三种型号的零件周产量之比为，且抽取型号零件15个，
所以，解得.
故答案为：50.
13.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的母线长为8，则这个圆台的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台的侧面积公式结合已知条件直接计算即可.
【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的母线长为8，
所以这个圆台的侧面积为，
故答案为：.
14.已知，且，向量在向量上投影向量是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出，结合平面向量数量积的几何意义可得出向量在向量上的投影向量.
【详解】因为，所以，
则向量在向量上的投影向量为，
故答案为：.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图，在中，，E是AD的中点，设，.

（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
【小问2详解】
因为，与夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
16.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）；
（3）估计这次考试的众数、平均分．
【答案】（1），直方图见解析
（2）73 （3）众数是75，平均分71
【解析】
【分析】（1）根据频率和等于1，即可求解；（2）根据中位数平分直方图的面积，列出方程求解即可；（3）根据众数的定义及平均数的计算公式求解即可.
【小问1详解】
因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：
直方图如图所示．
【小问2详解】
成绩在的频率为
成绩在的频率为：，中位数在内.
设中位数为，
中位数要平分直方图的面积
，
解得即中位数为.
【小问3详解】
频率最大的是组，则众数是；
利用组中值估算抽样学生的平均分为：
估计这次考试的平均分是分．
17.已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.
【小问1详解】
，
∴函数的最小正周期．
【小问2详解】
由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．
18.如图，正方体的棱长为2．

（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；
（2）由线面垂直的判定定理可得答案；
（3）设，由已知条件可得即为二面角的平面角，在中计算可得答案.
【小问1详解】
在正方体，且，
∴为平行四边形，∴，
∵平面，平面
∴平面；
【小问2详解】
∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，
∴，
∵正方形ABCD中，，
又∵平面，平面，，
∴平面；
【小问3详解】
∵在正方形ABCD中，设，连接，
∴，，
∵中，，为等腰三角形，∴，
∴即为二面角的平面角，
∵在中，，
∴，即二面角的正弦值为.

19.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
（1）求角C的大小；
（2）若，求的周长的取值范围．
【答案】（1）.
（2）△周长的取值范围为
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，可求得C；
（2）由（1）可得，结合三边关系定理可求得△ABC的周长的取值范围．
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
由正弦定理可得，
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
又，所以△的周长的取值范围为．