广西壮族自治河池河池十校协作体2024~2025学年高一下册5月月考数学试卷[附解析]

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果.
【详解】因为，故复数的虚部为.
故选：D.
2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，
解得，
故选：D.
3. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A. 平面内所有直线都与是异面直线B. 平面内不存在与平行的直线
C. 平面内所有直线都与相交D. 直线与平面有公共点
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知直线与平面相交或，即可得出结果.
【详解】由直线与平面的定义知直线与平面不平行，则直线与平面相交或.
当直线与平面相交时，设交点为，则平面内过点的直线与直线相交，A错误；
当时，显然平面内存在直线与直线平行，故BC错误；
由上知，所以直线与平面有公共点，D正确.
故选：D
4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.
【详解】设投影向量是，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D.
5. 如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定为直线与平面所成的角，在中，解三角形即可.
【详解】因为平面，
所以为直线与平面所成的角，
在中，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
6. 已知在平行四边形中，，，在直线上有点P满足，，则值为（ ）
A. 9B. C. 18D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，将分别用线性表示，利用数量积的运算律计算即得.
【详解】
如图，因平行四边形，，
则，，
由可得，
化简得：，解得.
故选：C.
7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】由和正弦定理，可得，
由和余弦定理，可得，
整理化简得：，代入化简得，
又由余弦定理得，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D.
8. 在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解.
【详解】由，得，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当时，取等号，
故最小值为，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若抽到青年旅客人，则（ ）
A. 抽到老年旅客人
B. 抽到中年旅客人
C.
D. 被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过
【答案】AD
【解析】
【分析】利用分层抽样求出设抽到老年旅客、中年旅客的人数，逐项判断即可.
【详解】设抽到老年旅客、中年旅客的人数分别为、，则，
解得，，故，
被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和为，AD对，BC错.
故选：AD.
10. 如图，正方体，的棱长为，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角是
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是菱形
C. 存在点P，使得平面
D. 正四面体的高为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角，判断A； 根据平行关系作出截面图，即可判断B.当为中点时平面，即可判断C； 选项D，求出正四面体的高即可判断.
【详解】对于A，正方体中，易知，
异面直线与所成的角即直线与所成的角，即，
为等边三角形，则，故A正确；
对于B，因为，分别是，的中点，所以，
在正方体中，易证，所以，
过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；
对于C，当为中点时，因为是的中点，所以，
平面，平面，
所以平面，故C正确；
对于D，连接，设平面，连接，平面，
平面，即，又，，
有平面，..平面，所以，
同理可证：，，平面，
所以平面，即平面，则B在底面的射影为的重心，
所以，所以，
即正四面体的高为，故D正确.

故选：ACD.
11. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则是等边三角形
C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】由可得.
对于A，由余弦定理可得；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由正弦定理可得，R为外接圆半径，然后积化和差公式可得，据此可得外接圆半径最小值；对于D，由正弦定理边角互化可得，然后由是锐角三角形可得 ，据此可得取值范围.
【详解】由，可得 ，则由正弦定理边角互化可得，
对于A，由余弦定理可得，又，则，故A错误；
对于B，因，则，，则，结合，可得是等边三角形，故B正确；
对于C，因的面积为，结合，则.
由正弦定理，，R为外接圆半径，则，
对于，由积化和差公式，，当且仅当时取等号，则，故C错误；
对于D，由正弦定理边角互化可得：
，
因是锐角三角形，则，则，
，则，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 向量，，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】，则.
故答案为：1.
13. 在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】结合图形特点，取中点，分析推得点为三棱锥外接球的球心，利用公式计算即得.
【详解】
如图，在矩形中，，，则，
取中点，连接，则，
故点为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，
故外接球的表面积为.
故答案为：.
14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当的三个内角均小于时，若其内部的点P满足，则称P为的费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，设P为的费马点，，则实数t的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理求得，再根据余弦定理得到为直角三角形，又P为的费马点，假设边长后结合利用余弦定理得到等量关系进行化简得，利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为P为的费马点，则，
设，，，则，
因为，所以，且；
因为，所以，则，
所以，所以为直角三角形；
则在中，
；
同理，中，；
中，
因为，即，
即，
化简得，又，所以，
又，即，所以，，
解得或（舍去）；
所以实数t的取值范围为.
当且仅当，即时取到等号.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知正方体．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）先证平面，再根据线面垂直可证面面垂直.
【小问1详解】
因为为正方体，
所以，且平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为为正方体，
所以平面，
又平面，所以.
又因为四边形为正方形，所以.
，平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
16. 对任意非零向量，，定义．
（1）若向量，，求的值；
（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值；
（2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可.
【小问1详解】
因为向量，，所以，
则；
【小问2详解】
，解得，
所以.
17. 已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________．
（1）求；
（2）若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，根据三角恒等变换的化简和正弦定理计算即可求解；若选②，根据余弦定理计算即可求解；
（2）易知，根据三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，则，解出，再次利用三角形面积公式计算即可求解.
【小问1详解】
若选①，
，
由正弦定理得，
由，得，即，
又，所以；
若选②，
，得，
由余弦定理得，
又，所以.
【小问2详解】
因为平方，则，
又，
即，
整理得，得；
又，
得，即，
则，解得或（舍去），
所以的面积为.
18. 某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边、、、修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为300平方米的钝角三角形(C是钝角)，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度．
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式解得，因为C是钝角，所以，利用余弦定理即可求解；
（2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解．
【小问1详解】
，解得，
由C是钝角，得，
在中，由余弦定理可得
，
所以需要修建的隔离防护栏.
【小问2详解】
由题意可得，，
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
所以，，
则
，
当时，即时，取得最大值，
此时花卉观赏区的面积，.
19. 已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）．
（1）证明：平面；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明.
（2）利用体积法求点到平面的距离.
（3）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的正切值.
【小问1详解】
在直角梯形中，因，故，.
又E，F分别是，的中点，所以，所以.
所以在折叠后的几何体中，有，，
，平面，所以平面.
【小问2详解】
如图：
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
因平面，所以.
所以两两垂直，且，.
所以中，，.
所以.
又.
设点到平面的距离为，
则.
即点到平面的距离为.
【小问3详解】
过作于点，过作于点，连接.
因为平面平面，所以平面，平面，
所以，又，是平面内的两条相交直线，
所以平面，
所以即为二面角的平面角.
因为，所以.
在中，.
即二面角的正切值为.