四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期6月自主测试数学试卷

这是一份四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期6月自主测试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 的值等于（ ）
A. B. 0C. D.
3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 已知向量且，求（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为1B.
C. D.
7. 向量与在上投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A. B. 6C. 12D. 16
8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（ ）
A. 在翻折过程中，存在某个位置使得
B. 若，则与平面所成角正切值为
C. 三棱锥体积最大值为
D. 当时，的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数（，）的部分图象如图所示，图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在单调递减
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ）
A. 平面DEFB.
C. 球O的表面积为D. 点F到平面DEM的距离为
11. 如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为2.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.
13. 已知，则__________.
14. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小．
16. 函数，其中向量，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，，，求的值.
17. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
18. 如图，在正方体中，，是的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与的夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由.
19. 三角形布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．
（1）求证：；
（2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（3）若，试判断的形状．
高2024级高一下期自主测试
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1）最大值1，最小值.
（2）
【17题答案】
【答案】（1）平方米
（2）方案一更优，理由见解析.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）存在，为中点
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，；
（3）正三角形.