四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：张昆明 饶正波 审题人：饶正波 张昆明
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简后，逆用差角的正弦公式计算即得.
【详解】
.
故选：B
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先用诱导公式化简已知式，再利用二倍角公式将其化成关于 的余弦的方程，求得 ，代
入二倍角的余弦公式即可.
【详解】由 可得 ，
即 ，也即 ，
解得 或 ，因 ，则 ，
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故 .
故选：A.
3. 已知在正六边形 中，G 是线段 上靠近 D 的三等分点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的线性运算和正六边形中的等量关系即可得结果.
【详解】由向量的线性运算及正六边形的性质可知
故选：C.
4. 设 为实数，已知向量 ， .若 ，则向量 与 的夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用向量垂直的坐标式求得 ，分别计算 ， 与 的值，代入两向量的夹
角公式计算即得.
【详解】因 ， ，
由 可得 ，解得 ，则 ， ，
故 ，
， ，
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设向量 与 的夹角为 ，
则 ，
因 ，故 .
即向量 与 的夹角的正弦值为 .
故选：D.
5. 已知函数 （ ， ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C. 图象的对称轴为 ，
D. 在区间 上的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数最大值和最小正周期可得 ，由 可得 ，从而得到 解析式；由
可判断其奇偶性，知 A 错误；根据三角函数平移变换原则可得 B 错误；利用
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整体代换法，令 可求得对称轴，知 C 正确；由 ，结合正弦函数
性质可确定最小值为 ，知 D 错误.
【详解】 ， ， ；
由图象可知： 最小正周期 ， ，
又 ， ，解得： ，
又 ， ， ；
对于 A， ， 不是
偶函数，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C，令 ，解得： ，
的对称轴为 ，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
当 ，即 时， ，D 错误.
故选：C.
6. 若 ， ，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角的范围和题设条件求出 与 的值，再由和角的余弦公式求出
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，即可求得 .
【详解】由 可得 ，
因 ，则 ，
又 ，则 ，
因 ，
则 ，
故
，
因 ，故 .
故选：B.
7. 设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，BC 边上一点 D
满足 ，且 AD 平分 .若 的面积为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化以及和角公式化简求出 ，即得 ，根据三角形角平分线定理，
推得 ，利用三角形面积公式求得 ，联立计算即得.
【详解】
由 和正弦定理，
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可得 ，
即 ，
因 ，
且 ，则 ，可得 ，故 .
如图，因 BC 边上一点 D 满足 ，且 AD 平分 ，
则 ，即 ①，
又 的面积为 ，即得 ②，
由①②联立，解得 .
故选：C.
8. 已知平行四边形 ABCD 中， ，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，若 ，则四边
形 ABCD 面积的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 设 ， 的 长 分 别 为 ， 将 分 别 用 表 示 ， 利 用
推得 ，根据重要不等式求出 的最大值，即得四边形 ABCD 面积的最
大值.
【详解】
如图，设 ， 的长分别为 ，
由图知， ，
由 ，
因 ，代入整理得： ，
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则由 ，即得 ，当且仅当 时等号成立，
此时，四边形 ABCD 的面积 ，
即四边形 ABCD 面积的最大值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 的图象向左平移 m（ ）个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是
D. 若实数 m 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ， ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】先对函数化简变形 ，然后由三角函数的性质逐个分析判断
即可
【详解】易得 ，
当 时， ，所以函数 在 上有增有递，故 A 错误；
因为 ，所以 是 的一个对称中心，故 B 正确；
的图象向左平移 个单位长度后得到 ，且 是偶
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函数，所以 ， ，所以 ， ，且 ，所以当 时， ，
故 C 正确；
因为 ，作出 在 上的图象如图所示，
与 有且只有三个交点，所以 ，
又因 时 ，且 , 关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
，故 D 正确.
故选：BCD.
10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几
何的桥梁.若向量 满足 ，则正确的是（ ）
A. B. 与 的夹角为
C. D. 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量夹角以及投影向量的运算，逐项判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故 A 错
误；
因为 ，所以 与 的夹角为 ，故 B 正确；
，所以 ，所以 C 正确；
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在 上的投影向量 ， 所以 D 正确.
故选：BCD
11. 若 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ，则下列结论
正确的是（ ）
A. 角 C 一定为锐角 B.
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【 分 析 】 对 于 A， 根 据 三 角 降 幂 公 式 将 条 件 化 成 即 可 判 断 ； 对 于 B， 在 A 得 到
后，利用正弦定理与内角关系化简得到 ，即可判断；对于 C，将已得式利
用余弦定理即可化简得到；对于 D，利用 ，将 化成 ，借助于基本不等
式，求得其最值即可判断.
【详解】对于 A，由 可得 ，
因 ，代入得： ，则 ，角 为钝角，故 A
错误；
对于 B， 由 A 得 ，利用正弦定理， ，
又 ，
代入上式，可得 ，
即 ，显然 两边同时除以 ，
可得 ，因 ，则 成立，故 B 正确；
对于 C，由 A 项已得 ，由余弦定理， ，
化简得： ，即 ，故 C 正确；
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对于 D，因 ，
由 B 项得 ，代入可得： ，
因 ， ，由 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 取得最大值为 ，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡上.
12. 已知向量 ， ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由 得 ，即 ，利用二倍角的正弦公式和同角三角函数的商的关系即
可求解.
【详解】由 ， ，且 有 ，
所以 ，
故答案为： .
13. 已知 ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式和题设条件，依次求出 ， ，再利用和角的正
弦公式计算即得.
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【详解】由 可得 ，
因 ，则 ，则 ， ，
故 .
故答案为： .
14. 如图，在矩形 中， 为边 的中点， 为边 上一点， 交边 于点 ，若
，则 周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 ， 根 据 三 角 函 数 的 定 义 和 勾 股 定 理 用 分 别 表 示 三 边 ， 再 换 元 令
，求周长的最小值即可.
【详解】设 ，
由题意知 ，
当 与 重合时，由 ， 得 ，
当 与 重合时，同理可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的周长 ，
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令 ，因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以当 时， 取得最小值，且 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在 中，D 为 BC 边上一点.过 D 点的直线 EF 与直线 AB 相交于 E 点，与直线 AC 相交
于 F 点（E，F 两点不重合）.
（1）若 ，
（ⅰ）用 ， 表示 ；
（ⅱ）若 ， ，求 的值.
（2）若 ， ，P 是线段 AD 上任意一点，求 最大值.
【答案】（1） ，
（2）2
【解析】
【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得 ；根据（ⅰ）的
结论，转化用 ， 表示 ，根据 三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）；
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（2）利用基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
（ⅰ）在 中，由 ，又 ，
所以 ，
所以
,
（ⅱ）因为 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又 三点共线，且 在线外，
所以有： ，即 .
【小问 2 详解】
由于 ，故 是 的中点，故 ，
，
当且仅当 时取等号，故 最大值为 2，
16. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值.
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（3）在 中，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性
质求其周期和递增区间；
（2）由条件推得 ，根据角的范围求出 ，利用拆角变换即可求出
的值；
（3）由 及角的范围求得 ，利用三角形内角和，将所求式用 的三角函数表示，通过三角恒
等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围.
【小问 1 详解】
，
函数 的最小正周期为
由 ，可得 ，
故函数 单调增区间为 .
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【小问 2 详解】
由（1）已得 ，则 ，
因 ，则 ，故 ，
则
.
【小问 3 详解】
在 中， ，
因 ，可得 ，
故 ，解得 ，则 ，
故 ，
因 ，则 ，故 ，
则 ，即 的取值范围为 .
17. 某养殖公司有一处正方形养殖池 ，边长为 100 米.
（1）如图 1，P，Q 分别在 ， 上，且 ，求证： .
（2）如图 2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求 是边 的中点，点 在边
上，点 在边 上，且 ，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带 和 ，并安装智
能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米 400 元.
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问：①设 ，求 的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值： ，
）
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②当 米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为 元，
理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长 到 ，使 ，连接 ，根据三角形的边角关系即可证明；
（2）①由已知当点 与点 重合时， 最小，当点 与点 重合时， 最大，即可求解；②先表示出
，然后通过三角换元，令 ，由此可得 关于 的函数，利用函数单调性
求解出 的最小值，则结果可知.
【小问 1 详解】
延长 到 ，使 ，连接 ，
因为 为正方形，所以 ， ，
所以 与 全等，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 与 全等，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ；
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【小问 2 详解】
①因为 ，所以 ，
当点 与点 重合时， 最小， ，所以 ，
，
当点 与点 重合时， 最大， ，所以 ，
所以 的取值范围为 ；
②设 ，由①知 ，
， ，
，
设 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时， 最小，此时 ，即 ，
所以 的最小值为 ，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米 400 元，
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所以当 米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为 元.
18. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上的一点， ，且______，求 的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
① 是 的平分线；
② 为线段 的中点.
（3）若 为锐角三角形， 求 边上的高取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得 ，
（2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解 的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量
的模长公式以及余弦定理可得 的值，即可根据面积公式求解，
（3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数
的性质求解 的范围，即可利用三角形面积公式求解.
【小问 1 详解】
中， ：
结合正弦定理可得：
由 得 ，
，
，
，又 ，所以 ．
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【小问 2 详解】
若选①：由 平分 得： ，
，即 ．
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
联立 ，得 ，解得 ，
；
若选②：由题设 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
联立 ，得 ，
．
【小问 3 详解】
由正弦定理得 ，
故
,
由于 为锐角三角形，故 ,故 ，因此 ，
故当 ，即 时，此时 取到最大值 ，
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当 或 ，即 或 时，此时 ，
因此 ，
故三角形的面积为 ，
故 边上的高为 ，
19. 定 义 函 数 的 “积 向 量 ”为 ， 向 量 的 “积 函 数 ”为
.
（1）若 ， ，求 最大值及对应 的取值集合；
（2）若向量 的“积函数” 满足 ，求 的值；
（3）已知 ， ，设 ，且 的“积
函数”为 ，其最大值为 ，求 的最小值，并判断此时 ， 的关系.
【答案】（1）最大值为 ， 的取值集合为
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，根据三角函数的性质求解即可；
（2）令 ，有已知根据三角恒等变换求解即可；
（3）由已知可得 ，根据三角函数的有界性可得最大值 和 与 的
关系，将 代入 根据二次函数的性质即可求解.
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【小问 1 详解】
若 ， ，则 ，
当 时，即 ， ，函数有最大值，
函数 最大值为 ，对应 的取值集合为 ；
【小问 2 详解】
，
令 ，所以 ，
所以 ， ，
即 ， ，所以 ；
【小问 3 详解】
因为 ， ，
所以
，
所以
，
此时存在 满足 ， ， ，
当且仅当 时等号成立，
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所以 ，
即 ， ，
所以 成立，
且 ，
则 ，
，
当 时有最小值，
所以 的最小值为 .
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