吉林省吉林市2025届高三数学上学期10月第一次模拟考试

这是一份吉林省吉林市2025届高三数学上学期10月第一次模拟考试，共7页。试卷主要包含了 已知等差数列的公差为，则， 下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1. 已知复数，则
A. B.
C. D.
2. “”是“角为第二象限角”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，则
A. B.
C. D.
4. 已知向量，，则
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则
A. B.
C. D.
6. 已知等差数列的公差为，则
A. B.
C. D.
7. 设样本数据,,…,的平均数为，标准差为，若样本数据，，…，的平均数比标准差少，则的最大值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为
A. B.
C. D.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列不等式成立的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 如图，在中，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，，，°，点为与的交点，则
A.
B. 是在上的投影向量
C.
D.
11. 已知函数，则
A. 是周期函数 B.
C. 在上恰有个极值点D. 关于的方程有两个实数解
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题的第一空填对得2分，第二个空填对得3分．
12. 中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境．某科研院在研发项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关．已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为和，则该科研院攻克这项技术难题的概率为 .
13. 已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为 ．
14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则 ；若恒成立，则整数的最大值为 ．
（参考数据：.）
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有％的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取名，记录并将成绩分成以下组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分；
（Ⅱ）从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中任意抽取人访谈，求至多有一人成绩在内的概率．

16.（本小题满分15分）
已知幂函数（）的图象过点.
（Ⅰ）求关于的不等式的解集；
（Ⅱ）若存在使得，，成等比数列，求正实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知等差数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）求数列的前项和．
18.（本小题满分17分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（Ⅰ）若，，求的面积；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）当取最小值时，求.
19.（本小题满分17分）
已知函数，，.
（Ⅰ）当时，若在点处的切线方程为，求实数的值；
（Ⅱ）(ⅰ) 证明：曲线是中心对称图形；
(ⅱ) 若当且仅当，求的取值范围.
命题命命 `命 命命命题、校对：高三数学核心组
吉林地区普通高中2024—2025学年度高三年级第一次模拟考试
数学学科参考答案
单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分.
多选题：本大题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
10.D教学提示
（法一）平面向量基本定理+三点共线
设，
因为，，三点共线，所以，即，所以.
（法二）平面向量基本定理+三点共线
设,，
，
，
由对应项系数相等求出，．
（法三）坐标法
（法四）过点作平行于，交于点，易得，，故．
（法五）由梅涅劳斯定理得，故．
11.教学提示
B. 因为，所以，则，所以.
C. ，令，
当时，，故在上单调递减，
又，，易得C选项正确．
D．关于的方程的实数解的个数可转化为图象与图象的公共点的个数，绘制与的大致图象如右图：
参考，，，
故当时，与的图象恰有两个公共点，
当时，与的图象无公共点.
综上，关于的方程有两个实数解.
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题的第一空填对得2分，第二个空填
对得3分．
12. 13. 14. (分)， （分）
14.教学提示
因为点（）与点（）关于直线对称，
所以，，则
（1）；
（2），
利用零点存在性定理并结合参考数据可得，故，
又，，故整数的最大值为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【解析】
（Ⅰ）因为，
所以． 2分
（注:本次不扣分，教学中注意强调格式的规范性.）
根据初赛成绩，仅有％的学生能进入决赛，
则估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为初赛成绩的第百分位数.
因为，
，
所以第百分位数在区间内.
（法一）设第百分位数为，
则，
所以．
所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为分． 6分
（法二）因为，
所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为分. 6分
（Ⅱ）由题知，成绩在区间，，内学生人数的频率比为，
则在区间内抽取人，记为；
在区间内抽取人，记为；
在区间内抽取人，记为.
从这人中抽取人访谈，试验的样本空间，
其中共有个样本点. 10分
设事件“至多有一人成绩在内”，
（法一）事件,
则，所以．
所以至多有一人成绩在内的概率为． 13分13分
（法二）事件，则，从而．
所以.
所以至多有一人成绩在内的概率为． 13分13分
（注：利用组合数求试验样本空间中的样本点个数，不列举也给分.）
16．【解析】
（Ⅰ）由得，故. 2分
由题，故，故，即原不等式解集为． 6分
（注：忽略定义域扣1分.）
（Ⅱ）由题，即，
即关于的方程在上有实数解． 9分
令，则当时，与图象有公共点，
则，
令，得；
令，得；
令，得；
故在上单调递增，在上单调递减． 12分
当时，取得极大值，
又，当时，，
所以正实数的取值范围是． 15分
（注:1.学生需要掌握基本初等函数解析式；
2.第二问的范围有误，扣2分；
3.解答过程第二问需描述函数图象的变化趋势，未说明但答对，本次不扣分.具体答题过程可参考人教版选择性必修二P95-例7.）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
则，解得， 2分
所以数列的通项公式为. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 6分
则，
所以
8分
. 10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得， 12分
所以. 15分
（注：或表述为等形式均可.）
【解析】
（Ⅰ）在△中，由，得，所以，
因为，
所以为锐角，从而，
同理可得. 3分
又，，由正弦定理，得 ，
所以. 5分
（注）也可由正弦定理，得 ，
所以. 5分
（Ⅱ）（法一）因为，所以，即，
由正弦定理、余弦定理，得
， 8分
即,
整理得. 10分
（法二）过点作，垂足为.
因为， 所以，即；
又因为，
所以，. 8分
因为，
所以，即，
即. 10分
（Ⅲ）因为，
所以，
从而， 14分
因为，同号，则，，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即当取最小值时，. 17分
19.【解析】
（Ⅰ）当时，，.
，，由题，故. 4分
（Ⅱ）(ⅰ)证明：
因为定义域关于原点对称，
且
，
所以是中心对称图形，对称中心为点. 8分
（注：利用等类似结论求解也给分.）
(ⅱ)若当且仅当，则，
若，因为，所以，使得，矛盾，
从而，故. 10分
（注：方法合理，都给分.）
当时，恒成立，
. 11分
当时，因为，所以，则，
则，则，从而.
故在上单调递增，所以，符合题意. 14分
当时，取，
因为，所以，
从而，不符题意. 16分
综上，的取值范围是. 17分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
D
A
D
C
B
9
10
11
AD
BC
BCD