北京市2025届高三数学上学期9月月考试题含解析

这是一份北京市2025届高三数学上学期9月月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级____________姓名____________考号____________
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B，由此能求出.
【详解】因为集合，，所以
.
故选：B.
2. 已知向量，，则（ ）
A 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可.
【详解】由题设.
故选：B
3. 设则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】：因为，所以，那么，
所以.
4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，，不成立，故B错误；
C：，
因为，所以，得，即，故C正确；
D：当时，满足，，不成立，故D错误.
故选：C
5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指对幂型复合函数及余弦函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性.
【详解】A：由幂函数的性质知在上递增，不符；
B：由余弦函数性质知在上不单调，不符；
C：由在上递减，在定义域上递增，故在上递减，
又，且定义域为，故为偶函数，符合；
D：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，不符.
故选：C
6. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解.
【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，
，，则，
所以第2球投进的概率为.
故选：A
8. 若在区间上单调递增，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，且过原点，进而得在上单调递增，即可求解.
【详解】函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
又函数的定义域为，
所以函数在上单调递减，且过原点，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：D.
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.
【详解】因为是非零向量，
若，则，
所以
，
所以对于任意的，都有成立，故充分性成立；
若对于任意的，都有成立，
则，即，
所以，所以，所以，故必要性成立；
所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件.
故选：C
10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ）
A. 函数是最小正周期为的奇函数
B. 函数的对称轴为
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的最大值不大于2
【答案】D
【解析】
【分析】计算即可求解A，根据与的关系即可求解B，根据特殊值即可求解C，根据三角函数的有界性即可求解D.
【详解】对于A, 故A错误，
对于B，，
故也为的一条对称轴，B错误，
，
，由于，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选：D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12. 在中，，P满足，则____________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.
【详解】由题意可知，.
故答案为：
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
14. 设函数在上恰有两个零点，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解.
【详解】由题得，
因为函数在上恰有两个零点，
所以方程在上恰有两个根，
所以函数与图象在上恰有两个交点，
令，
即函数的对称轴方程为，
所以在上有两条对称轴为和，如图，
所以由函数的图象性质可知或.
故答案为：或.
【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.
【详解】对①，当时，，
当时，，当时，，
综上，的最小值为，①正确；
对②，，，
当时，，
当时，若，；若，，
如时，，函数不存在最小值，②错误；
对③，当时，最多一个解，
得或，
如时，，由可得(舍去)，
由得或，故此时两个零点，即；
如时，，由可得，
由得或，故此时三个零点，即；
当时，，由可得，
由得，故此时一个零点，即；
当时，，时，，无解，
时，，无解，
此时没有零点，即.
综上，的值域为，故③正确；
对④，当时，如时，，
，，，此时，故④错误.
故答案为：①③
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．
16.
已知函数.
（Ⅰ）若点在角终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用三角函数定义得正余弦值，再代入计算即可；（Ⅱ）化简函数解析式，再整体代入求值域即可
【详解】（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，，
所以
（Ⅱ）
，
因为，所以，
所以，
所以的值域是
17. 在中，.
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；
条件②；
条件③AB边上的高为.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出，即可得答案；
（2）若选①②，根据求出A，由正弦定理求出a，再利用两角和的正弦公式求出，由三角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据求出A，再根据AB边上的高h求出b，下面解法同选①②；若选②③，根据条件可求出A的值不唯一，即可判断不合题意.
【小问1详解】
在中，，由正弦定理得，
由于，则，
由于，故；
【小问2详解】
若选①②，存在且唯一，解答如下：
由于，，
又，故，则；
又，故，
故；
若选①③，存在且唯一，解答如下：
由于，，
AB边上的高h为，故
则，则；
又，故，
故；
若选②③，不唯一，解答如下：
，AB边上的高h为，故，
或，此时有两解，不唯一，不合题意.
18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望
（3）
【解析】
【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
(3)由方差的意义可得.
【小问1详解】
由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
【小问2详解】
由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
．
所以的分布列为
．
【小问3详解】
易知五种毕业去向人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．
19. 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求a最大值.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）1
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令．因为 ，则
所以函数的单调递减区间是
【小问2详解】
．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，x在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
【小问3详解】
当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：a的取值范围为，即a的最大值为．
20. 设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知.
（1）若直线l斜率为，
（i）求及直线l的方程；
（ii）记，讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有且只有一个“T点”.
【答案】（1）（i）；，（ii）在上单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切点和切线方程，求导，分析函数的单调性即可.
（2）先把“点”定义转化为：当x∈0,x0时，；当x∈x0,+∞时，.再借助（1）的结论分析“点”及其个数.
【小问1详解】
（i）由题意：，，
由，得：.
所以切点为
所以切线方程为：即.
（ii），，
所以恒成立，
所以，Fx在上单调递减.
【小问2详解】
当时，恒成立等价于：
当x∈0,x0时，；当x∈x0,+∞时，.
因为，，，
所以在点x0,fx0处的切线方程为：即
设
所以
当时，，
当时，，Fx单调递增，则，与“点”定义矛盾，不合题意.
当时，令.
当时，由（1）得：，且Fx在上单调递减.
当时，，，所以；
当时，，，所以.
所以当时，恒成立，故为函数的一个“点”.
当时，则当时，，所以Fx单调递减；
当时，，所以Fx单调递增.
则存在，使得，这与“点”的定义矛盾.
同理，当和时也不合题意.
所以函数有且只有一个“点”.
【点睛】关键点点睛：函数“点”的定义可转化为：当x∈0,x0时，；当x∈x0,+∞时，.
21. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
（1）当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
（2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
（3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
【答案】（1）集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析
（2）具有，理由见解析
（3）1333
【解析】
【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断；
（2）根据集合，任取，因为，说明，可得，即可说明，继而结合定义即可得结论；
（3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（）个元素不超过1000，从而可得不等式，结合k为正整数，可得，再结合定义，即可确定答案.
【小问1详解】
当时，集合，，
则集合B不具有性质P，理由如下：
因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素，
使得成立；
集合具有性质P，理由如下：
因为可取，对于该集合中的任意一对元素，
都有；
【小问2详解】
当时，集合，
若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下：
首先因为集合，任取，其中，
因为，所以，
从而，即，故,
由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对于S中的任意一对元素，都有，
对于上述正整数m，从集合中任取一对元素，
其中，则有，
故集合具有性质P.
【小问3详解】
设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，
任给，则x与中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t（）个元素不超过1000，
由集合S具有性质P可知存在正整数，
使得对于S中的任意一对元素，都有，
所以一定有，
又，故，
因此集合A中至少有t个元素不在子集S中，
故，即，结合k为正整数，可得，
当时，取，
则可知集合S中任意两个元素，都有，
即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S中元素个数的最大值为1333.
【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题.毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
0
1
2
3
x
+
+
-
↗
↘