四川省成都市石室中学2025届高三下学期一模数学试题（Word版附解析）

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（全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内， 对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在 的展开式中， 的系数是（ ）
A. B. 8 C. D. 4
4. 下列四个条件中，使 成立的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
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5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 函数 有且只有一个零点，则 的取值是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 图象上两点 关于原点对称，点 的横坐标 ，过点 分别作两坐标
轴的垂线得到矩形 ，矩形与坐标轴的交点分别记为 .将图象沿 轴折叠，得到一个二面
角 ，若 ，则二面角 的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点 发出的光线经过椭圆上的
点 反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 ，且在点 处的切线垂直于法线（即 的平分线）.已
知椭圆 的焦距为 ，坐标原点 到点 处切线的距离为 ，且
，则椭圆 的长轴为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的.全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知公差为 1 的等差数列 满足 成等比数列，则（ ）
A.
B. 的前 项和为
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C. 的前 8 项和为
D. 的前 50 项和为
10. 平面上，若一个动点 到定点 的距离与点 到直线 的距离之比为 ，则
（ ）
A. 动点 的轨迹方程为
B. 若过点 的直线 与动点 的轨迹只有一个交点，则直线 的斜率范围为
C. 若圆 ，则圆 上的点与动点 的距离最小值为
D. 若点 在动点 的轨迹上， 为线段 的中点，则线段 所在直线的方程为
11. 已知函数 ，对任意 ，均有 ，且
为 的导函数，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D.
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 满足 ，则 __________.
13. 若函数 在 内有 2 个零点，则 的最大值为______________.
14. 碰碰车是一种充满乐趣和刺激 游乐设施，它可以让人们在享受快乐的同时，也能感受到速度和惊险.
某游乐场的碰碰车设施包括碰碰车车辆及如图所示的三块并排平整的场地.某碰碰车在碰撞时每次都会从所
在场地的通道口随机选择一个到达相邻场地或者到达场外，一旦碰碰车到达场外，本次游乐就结束.已知该
碰碰车初始位置在 1 号场地，则游乐结束时该碰碰车是从 1 号场地到达场外的概率为__________.
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某绿色水果生态园在某种水果收获时随机摘下该水果 100 个作为样本，其质量（单位：克）分别在
中，经统计，样本的频率分布直方图
如图所示.注：水果质量在 内的水果为优质水果，频率作为概率.
（1）某经销商来收购水果时，要求生态园的水果至少有 的水果质量达 280 克及以上，请由样本的频
率分布直方图说朋生态园的水果是否符合经销商的要求？
（2）为了提高水果的优质率，现提出 两种不同的改进方案进行试验.若按 方案进行试验后，从果园
中随机抽取 15 个水果，非优质水果个数 的期望是 2；若按 方案进行试验后，从果园中随机抽取 25 个
水果，非优质水果个数 的期望是 4.请通过比较两种方案的非优质率来选择改进方案.
16. 如图所示，圆锥 侧棱长为 ，侧面积为 ，线段 为圆锥底面 的直径，
是以 为直径的圆上一动点， 是线段 的中点.
（1）当 时，证明： ；
（2）当三棱锥 的体积为 12 时，求 与平面 所成角的正弦值.
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17. 记斜 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
且 .
（1）求角 ；
（2） 为边 的中点，若 ，求 的面积；
（3）如图所示， 是 外一点，若 ，且 ，记 的周长为
，求 的取值范围.
18. 如图， 平面直角坐标系 中，已知点 （异于点 ）在抛物线 上，且满足
.
（1）证明：直线 过定点 ；
（2）若 ，分别以 为直径作 与 ，过点 的直线与 分别交于点 ，
求 的最大值；
（3）在（2）的条件下，设 是抛物线 上的三个点，直线 均与 相切，判断直线 与
的位置关系，并说明理由.
19. 牛顿法（Newtn＇smethd）是牛顿在 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如
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图，设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ， 的
方程为 .如果 ，则 与 轴的交点的横坐标记为 ，称 为 的一
阶近似值.再过点 作曲线 的切线，并求出切线与 轴的交点横坐标记为 ，称 为 的
二阶近似值.重复以上过程，得 的近似值序列： 、 、 、 ，根据已有精确度 ，当 时，
给出近似解 .已知函数 ，其中 .
（1）当 时，试用牛顿迭代法求方程 满足精度 的近似解；（取 ，且结
果保留小数点后第二位）
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，当 时，比较
与 的大小；
（ii）当 时，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明：
.（参考数据： ， 时， ）
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