重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第二次（6月）月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第二次（6月）月考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若 （ 是虚数单位，a，b 是实数），则复数 在复平面内对应的点是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．2025 年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映
前 10 天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为
单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下
降趋势
B．上映前十天的票房极差为 4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为 6.34（亿）
D．上映前十天的票房第 70 百分位数为 7.30（亿）
4．已知函数 的图像向左平移 个单位后，得到的图像关于 轴对称，则满足条件
且 最小的 的值为（ ）
A．3 B． C．15 D．2
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑 中，满
足 平面 ，且 ， ， ，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知
A． B． C．6 D．
7．如图，四边形 是边长为 2 的菱形， .半圆面 底面
，点 为圆弧 AD 上的动点.当三棱锥 的体积最大时，二面角
的余弦值为（ ）
试卷第 3 页，共 4 页
A． B． C． D．
8．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点。我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼
的高度，在与塔底 位于同一水平面上共线的 三处进行测量，如图 2 已知在 处测得塔顶 的仰角为
，在 处测得塔顶 的仰角为 ，在 处测得塔顶 的仰角为 ，BC=AB=12 米，则根据该测量方
案可测得瞰远楼的高度 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
二、多选题（每题 6 分，共 18 分）
9．已知 ， 是空间中的两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线．下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据 2，3， ，5，7 的平均数是 4，则这组数据的众数是 3
B．数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第 分位数是 23
C．用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 10 的样本，则总体中某个体被抽
到的概率是 0.2
D．若样本数据 的标准差为 6，则数据 ， ， ， 的标准差为 11
11．如图，正方体 的棱长为 分别是 的中点，点 是底面 内一动
点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点 ，使得 //平面
B．过 三点的平面截正方体所得截面面积是
C．三棱锥 的体积不为定值
D．三棱锥 的外接球表面积为
试卷第 4 页，共 4 页
三、填空题（每题五分，共 15 分）
12．如图，梯形 是水平放置的平面图形 用斜二测画法得到的
直观图， ，则在平面图形 中，
；图形 的面积为 ．
13．如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面 与平
面 的交线 ，平面 与平面 的交线 ，若直线 与 所成角
为 ，直线 与 所成角为 ，则 的值是 ．
14．在边长为 的菱形 中， 为 的中点， ，点 在线段
上运动，则 的取值范围是 .
四、解答题
15（13 分）．重庆市杨家坪中学第十二届“爱国奋斗 强国励志”
大成风采艺术节高 2027 届合唱比赛 28 个班级结果分数 x 分成四
段：[8.15,8.55],[8.55,8.95],[8.95,9.35],[9.35,9.75]，并作出如图所
示的频率分布直方图.
(1)求出 a 的值；
(2)已知样本数据落在[8.55,8.95]的平均分是 8.778，落在
[8.95,9.35]的平均分是 9.161。求这两组数据的总平均数
(3)已知上四分位的班级获得特等奖，求出多少分以上为特等奖
答案保留三位小数；
.
16（15 分）．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 ；
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(2)已知 面积为 ， 为 7，求 边上中线 长.
17（15 分）．如图，三棱锥 中， 是等边三角形， ，
E 为 BC 的中点．
(1)M 是 AB 上的一点，若 EM//面 ACD，则确定点 M 的位置，并证明；
(2)证明： ；
(3)若 ， ， ，求 E 到平面 ACD 的距离．
18（17 分）．已知向量 ， ，其中 ，函数
，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求 在 上的值域；
3)若对 ，关于 x 的不等式 恒成立，求实数 m 的取值范
围。
19（17 分）．如图，等腰直角三角形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，且
，M 是 上异于 A、B 的点，N 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
试卷第 4 页，共 4 页
(2)若三棱锥 体积最大为 ，设 ，
（ⅰ）求体积最大时α的值及此时直线 CM 与面 ABC 夹角的正切值；
（ⅱ）当 M 在弧 上运动时（不与 A、B 重合），证明：点 O 到平面 的距离 ．
试卷第 3 页，共 4 页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A B D A B BD AC
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】由 ，则 ，
所以复数 在复平面上的对应点为 .
故选：D.
2．D
【分析】根据投影向量的定义求 在 上的投影向量.
【详解】由投影向量的定义， 在 上的投影向量为 .
故选：D
3．C
【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得.
【详解】对于 A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房
一定会呈现下降趋势，故 A 错误；
对于 B：上映前十天的票房极差为 （亿），故 B 错误；
对于 C：上映前十天的票房从小到大排列为 、 、 、 、 、 、 、
、 、 ，
所以上映前十天的票房中位数为 （亿），故 C 正确；
对于 D：因为 ，所以上映前十天的票房第 70 百分位数为 （亿），
故 D 错误.
故选：C
4．A
【分析】根据平移得出偶函数计算求得 ，再计算得出最小值求参.
【详解】由题设，函数 为偶函数，
答案第 11 页，共 11 页
所以 ，得 ，
要 最小，取 ，得 ，
故选：A.
5．B
【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的
半径，代入球的表面积公式得答案．
【详解】由 ， ， ，∴ ，即有 ，
又 平面 ，所以 ， ， 两两互相垂直，该瞥臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球， 是长方体的体对角线，
也是外接球的直径，设外接球半径为 R，则 ，
所以瞥臑的外接球表面积为 .
故选：B．
6．D
【分析】根据 ，去除平角时的情况。.
【详解】 ，所以
故选:D．
7．A
【分析】根据给定条件，确定点 的位置，再利用几何法求出二面角的余弦值.
【详解】过点 作 于 ，连接 ，菱形 边长为 2， ，
由半圆面 平面 ，半圆面 平面 平面 ，
答案第 10 页，共 11 页
得 平面 ，而 的面积是定值，要三棱锥 的体积最大，
当且仅当 最大，此时 为弧 的中点， 为 中点，而 为正三角形，
因此 ，又 平面 ，则 平面 ，
而 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
则 是二面角 的平面角， ， ，
所以二面角 的余弦值 .
故选：A
8．B
【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设 ，然后表示出其余所有边长，最
后利用余弦定理求解.
【详解】在直角三角形 中， ， ，可设
；
在直角三角形 中， ， ，可得 ；
在直角三角形 中， ， ，可得 .
在 中，根据余弦定理， ，
在 中，根据余弦定理， ，
又 ，则 ，即 ，
解得 ，即 .
故选：B
9．BD
【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可.
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【详解】A，若 ， ，此时 有可能在平面 内，并不一定 ，故 A 错误；
B，若 ， ，则 ，又 ，所以 ，故 B 正确；
C，若 ， ，则 或 ，又 ，则两平面相交或平行，故 C 错误；
D，因为 ， ，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，
那么它也垂直于另一个平面，可得 .
又因为 ，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以 ，故 D 正确.
故选：BD
10．AC
【分析】根据数据平均数列方程求 即可判断 A；根据百分数的定义求数据中第 分位数
判断 B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断 C；根
据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断 D.
【详解】A：由 ，可得 ，显然这组数据的众数是 3，对；
B：将数据从小到大排序为 ，
又 ，所以第 分位数是 ，错；
C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为 ，对；
D：由样本数据 的标准差为 6，即方差为 ，
则数据 ， ， ， 的方差为 ，故标准差为 ，错.
故选：AC
11．BD
【分析】根据线面平行判定定理判断 A，应用截面面积判断 B，等体积计算判断 C，结合长
方体外接球计算求解判断 D.
【详解】
答案第 10 页，共 11 页
对于 A，当 为 中点时，由中位线可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 A 错误；
对于 B，由中位线可得 ，在正方体中，易证 ，所以 ，
又因为 ，所以截面 为等腰梯形， ，故
B 正确；
对于 C， ，为定值，故 C 不正确；
对于 D，三棱锥 的外接球可以补形为长方体外接球，半径 ，
所以表面积 ，故 D 正确.
故选：BD.
12． 2 3
【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空先由直观图求出梯形的高和面积，再由原图与直
观图的面积关系计算可得.
【详解】由斜二测画法可知 ；
由图可得梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积 ，
则平面图形的面积为 .
故答案为：2；3.
13．
【分析】作出辅助线，得到 为直线 ，故 ，利用边长关系求出
，再由线面平行的性质定理得到 ， ，由三角形全等得到
，从而计算出 的值.
【详解】延长 与直线 相交于 ，连接 ，
则平面 与平面 的交线为 ，
即 为直线 ，故 即为 ，
答案第 11 页，共 11 页
又 ， ，
是棱 的中点，且 ，
， ，
又 为锐角，且 ， ，
则 ，
又 平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又 ，
故直线 与 所成角为 ，
又 ，故 ，
所以 ，
故答案为： .
14．5．
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得 ，然后以点 为坐标原点， 的方
向为 轴的正方向建立平面直角坐标系，设点 ，其中 ，利用二次函数的
基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求出 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以， ，
答案第 10 页，共 11 页
因为 ，故 ，
以点 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 、 、 ，设点 ，其中 ，
， ，
所以 ，
因为 ，函数 在 上单调递减，
故 ，即 ，
因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
15．（1）、 ；——————4 分
(2)、 ；————8 分
（3）、分数在 9.217 分以上是特等奖。————13 分
16、(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角 ；
（2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到
方程求解即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理边化角得
利用三角形内角和定理可得
答案第 11 页，共 11 页
即
因为 所以 ，即
因为 ，所以 .——————7 分
（2）由 得 ①
由 得 ②
由①②得
由 ，
得 .————15 分
17．(1)证明见解析；．(2)证明见解析；(3) .
【分析】(1)作 PB 中点 M，连接 EM，中位线 EM//AC，证得线面平行；
（2）设 的中点为 ，连接 ，易得 、 ，再由线面垂直的判定
和性质证明结论；
（3）根据已知得 ，在平面 内作 ，分析并构建合适的空间直角坐
标系，标注相关点坐标，求出平面 的一个法向量，应用向量法求点面距.
【详解】(1)做 AB 中点 M，连接 EM，此时 EM//AC， ，所以
EM//面 ACD————4 分
(2）设 的中点为 ，连接 ，
由 是等边三角形，则 ，
由中位线定理知 且 ，则 ，————7 分
又 平面 ，故 平面 ，
由 平面 ，所以 .————9 分
答案第 10 页，共 11 页
（3） ）知，CD ————10 分
————12 分
由 ，则 ，
由题设 ，则 ， ，
由余弦定理 ，
又 ， ， AE=3；—————14 分
————15 分
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）整理函数的解析式可得 ，由 ，
可得 ，即可得函数解析式.
（3）将所给不等式等价转化，将其化成 在 恒成立问题，通过
设元 ，，将函数化成 ， ，判断其单调性即得
，从而求得参数范围.
【详解】（1）依题意，
．
由 得 ，
即 ．
又 ，所以 ．
所以 ——————4 分
（2）已知 ，所以 的取值范围为
————9 分
答案第 11 页，共 11 页
（3）因 在 恒成立，
则 ，
而
，
所以 ，————13 分
即 在 恒成立，
记 ，——————15 分
，
又 ；
设 ，则 在 上单调递增，
，
，即 ．
故 的取值范围为 ——————17 分
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ， ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）（ⅰ）由三棱锥 体积最大为 求得半径及 ，再根据二面角的定义求解
即可；
（ⅱ）根据等体积法即可证明．
【详解】（1）证明：因为 M 是半圆弧 上一点，所以 ，即 ，
因为 分别是 的中点，所以 ， ，
因为 是等腰直角三角形， ，所以 ，
答案第 10 页，共 11 页
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ．————5 分
（2）（ⅰ）设 的半径为 r，过点 M 作 交 于点 G，如图，则 ，
因为 ，
故当 最大时，体积最大，此时 M 位于 的中点处，
所以 ， ，所以 ．————8 分
平面 ABC，所以直线 CM 与面 ABC 夹角为 ,此时 MG=CG,所以 tan
————11 分
（ⅱ）：过点 M 作 交 于点 G，如图所示，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由（ⅰ）知 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，
由等腰三角形 得， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
答案第 11 页，共 11 页
在 中， ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．————17 分
答案第 10 页，共 11 页