重庆市杨家坪中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市杨家坪中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数 3+i-1+2i 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知，，且在上的投影的数量为，则（ ）
A．B．C．D．
3．△ABC 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知 a=1 ， b=3 ， A=30 ，则 C= （ ）
A． 30 B． 45 C． 60 或 120 D． 30 或 90
4．已知向量 a=2,6 ， b=x,4 ，若 a-b 与 b 的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ）
A． -2,4 B． -4,2
C． -2,43∪43,4 D． -4,43∪43,2
5．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
6．要得到函数 y=-sin2x 的图象，只需要将函数 y=cs2x+π3 的图象（ ）
A．向左平移 π12 个单位B．向左平移 π6 个单位
C．向右平移 π12 个单位D．向右平移 π6 个单位
7．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是 y=Asinωx ．已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为 fx=sinx+2sin2x+3sin3x ，则（ ）
A． fπ3=32 B． fx 的最大值为6
C． fx 的最小正周期为 2π3 D． fx 在 0,π6 上单调递增
8．设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图是函数 fx=2sinωx+φω＞0,φ＜π2 的部分图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数 fx 的周期是 π
B．点 5π12,0 是函数 fx 图象的一个对称中心
C．直线 x=2025π4 是函数 fx 图象的一条对称轴
D．将函数 fx 的图象向右平移 π6 个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
10．已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，（ ）
A．若，则
B．若是边长为2的正三角形，则
C．若，则是等腰三角形
D．若，的中线长为1，则的最大值为
11．一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则存在实数使得B．
C．D．
三、填空题
12．已知 sinθ-π3=55 ，则 cs2θ+π3= _______.
13．如图，在⊙C中，弦 AB=3 ，则 AB⋅AC= _______．
14．已知函数 fx=4sinωx⋅sin2ωx2+π4+2cs2ωxω＞0 在区间 -π2,2π3 上是增函数，且在 0,π 上恰好取得一次最大值，则 ω 的取值范围是_______．
四、解答题
15．设函数 fx=tanx2-π3 ．
（1）求函数 fx 的定义域和单调区间;
（2）求不等式 fx⩽3 的解集．
16．在同一平面内的三个向量，若.
(1)若，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
17．青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角 ∠AOB=2π3 ，半径 OA=20 米，学校计划在弧 AB⌢ 上选一点 C ，并在点 C 处修建一个小型的服务站、从服务站向半径 OA 、 OB 分别作通道 CD 、 CE ，与线段 OA 、 OB 分别垂直相交于 D 、 E ，这样就形成了一个四边形 CDOE 区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅.
（1）设 ∠COD=x ，将四边形 CDOE 的面积 S 表示成 x 的函数；
（2）如果你是学校绿化设计师， C 点选在何处时，可使四边形 CDOE 的面积 S 取得最大值？并求出这个最大值.
18．已知a，b，c分别为 △ABC 三个内角A，B，C的对边，且 acsC+3asinC-b-c=0 ．
（1）求A；
（2）若 a=2 ，且 △ABC 的面积为 3 ，求b，c．
（3）在（2）的条件下，设 △ABC 的重心为 O ，过点 O 的直线与边 AB ， AC 分别交于 M ， N ，求证： 1AM+1AN 的值为一个常数．
19．已知O为坐标原点，对于函数 fx=asinx+bcsx ，称向量 OM=a,b 为函数 fx 的相伴特征向量，同时称函数 fx 为向量 OM 的相伴函数．
（1）记向量 OM 的相伴函数为 fx=sinx+csx ，向量 ON 的相伴函数为 gx=asinx+bcsx .若 OM 与 ON 垂直时，求与 ON 平行的单位向量；
（2）设函数 fx=sinx+csx 的相伴特征向量为 AB,gx=3csx-π3+csπ6+xx∈R ，函数 gx 的相伴特征向量为 AC ，求出 △ABC 的面积；
（3）已知 OM=3,1 为函数 hx 的相伴特征向量，若在 △ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c,a=3,hA=2 ，若点G为该 △ABC 的外心，求 GA⋅AB+GA⋅AC 的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】 3+i-1+2i=2-i ，则复数对应点为 2,-1 ，在第四象限.
故选D.
2．【答案】D
【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果.
【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：，
又，，则，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】由正弦定理 asinA=bsinB ，即 112=3sinB ，所以 sinB=32 ，
又 b＞a ，所以 30＜B＜150 ，所以 B=60 或 B=120 ；
当 B=60 时 C=90 ，当 B=120 时 C=30 ，
所以 C= 30 或 90 .
故选D
4．【答案】C
【详解】因为 a=2,6 ， b=x,4 ，所以 a-b=2-x,2 .
又 a-b 与 b 的夹角为锐角，所以 a-b⋅b＞0 ，且 a-b 与 b 不共线，
则 x2-x+8＞042-x-2x≠0 ，解得 -2＜x＜4 ，且 x≠43 .
即x的取值范围为 -2,43∪43,4 .
故选C
5．【答案】A
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选A.
6．【答案】A
【详解】 ∵y=-sin2x=cs2x+π2=cs2x+π4 ，
y=cs2x+π3=cs2x+π6=cs2x-π12+π4 ，
所以只需把函数 y=cs2x+π3 的图象，向左平移 π12 个单位，得到 y=-sin2x 的图象.
故选A.
7．【答案】D
【详解】对于A： fπ3=sinπ3+2sin2π3+3sinπ=332 ，故A错误；
对于B： y=sinx ，当 x=π2+2kπ ， k∈Z 时，函数取得最大值1，
y=2sin2x ，当 x=π4+kπ ， k∈Z 时，函数取得最大值 2 ，
y=3sin3x ，当 x=π6+2kπ3 ， k∈Z 时，函数取得最大值 3 ，由 1+2+3=6 ，
但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于 6 ，故B错误；
对于C： y=sinx 的最小正周期为 2π ， y=2sin2x 的最小正周期为 π ，
y=3sin3x 的最小正周期为 2π3 ，所以函数 fx 的最小正周期为 2π ，故C错误；
对于D：当 x∈0,π6 时， 2x∈0,π3 ， 3x∈0,π2 ，
所以函数 y=sinx ， y=2sin2x ， y=3sin3x 在 0,π6 都是单调递增函数，
则函数 fx 在 0,π6 上是增函数，故D正确.
故选D
8．【答案】B
【详解】，
，即，
，，，
为的平分线且与BC交于点，，
，即，
又，解得，当且仅当时等号成立，
的面积，
的面积的最小值为.
故选B.
9．【答案】AB
【详解】由图可得 T2=2π3-π6=π2 ，所以 T=π ，则 T=2πω=π ，解得 ω=2 ，
即函数 fx 的最小正周期是 π ，故A正确；
又 fπ6=2sinπ3+φ=2 ，所以 π3+φ=π2+2kπ,k∈Z ，所以 φ=π6+2kπ,k∈Z ，
因为 φ＜π2 ，所以 φ=π6 ，
所以 fx=2sin2x+π6 ，
又 f5π12=2sin2×5π12+π6=2sinπ=0 ，所以点 5π12,0 是函数 fx 图象的一个对称中心，故B正确；
因为 f2025π4=2sin2025π2+π6=2csπ6=3 ，
所以直线 x=2025π4 不是函数 fx 图象的一条对称轴，故C错误；
将函数 fx 的图象向右平移 π6 个单位得到 y=2sin2x-π6+π6=2sin2x-π6 ，
显然 y=2sin2x-π6 为非奇非偶函数，故D错误.
故选AB
10．【答案】AD
【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可判断；对于B，根据平面向量的数量积即可求解，注意向量夹角的大小；对于C，利用正弦定理和二倍角公式即可判断；对于D，利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由正弦定理，得，，
因为，
所以，
所以，
所以，或，
所以，或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，如图所示，
因为，为中点，
所以，
在中，，
在中，，
所以，
化简得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以的最大值为，故D正确.
故选AD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
因此，D正确．
故选BCD
12．【答案】 -35 /−0.6
【详解】因为 cs2θ+π3=csπ-2π3-2θ=-cs2π3-2θ ，
qcs2π3-2θ=cs-2θ-π3=cs2θ-π3=1-2sin2θ-π3 ，
已知 sinθ-π3=55 ，将其代入可得：
cs2π3-2θ=1-2×552=1-2×525=35 .
因为 cs2θ+π3=-cs2π3-2θ ，所以 cs2θ+π3=-35 .
13．【答案】 92
【详解】
如图取线段 AB 的中点 D ，得 CD⊥AB ，所以 ACcsA=AD=12AB .
所以 AC⋅AB=AC⋅csA⋅AB=12AB2=92 ．
14．【答案】 12,34
【详解】因为 fx=4sinωx⋅sin2ωx2+π4+2cs2ωx =4sinωx⋅1-csωx+π22+2cs2ωx
=2sinωx⋅1+sinωx+2cs2ωx
=2sinωx+2sin2ωx+2cs2ωx=2sinωx+2 ，
又 ω＞0 ，当 x∈-π2,2π3 时 ωx∈-πω2,2πω3 ，
因为 fx 在区间 -π2,2π3 上单调递增，所以 ，解得 0＜ω⩽34 ．
当 x∈0,π 时， ωx∈0,πω ，由 fx 在 0,π 上恰好取得一次最大值，
可得 π2⩽πω＜5π2 ，解得 12⩽ω＜52 ，
综上所述， ω∈12,34 .
15．【答案】（1）定义域为 xx≠2kπ+5π3,k∈Z ；无单调递减区间；单调递增区间为 -π3+2kπ,5π3+2kπk∈Z
（2） -π3+2kπ,4π3+2kπk∈Z
【详解】（1）由题意得： x2-π3≠kπ+π2k∈Z ，解得： x≠2kπ+5π3k∈Z ，
∴fx 的定义域为 xx≠2kπ+5π3,k∈Z ；
令 -π2+kπ＜x2-π3＜π2+kπk∈Z ，解得： -π3+2kπ＜x＜5π3+2kπk∈Z ，
∴fx 的单调递增区间为 -π3+2kπ,5π3+2kπk∈Z ，无单调递减区间.
（2）由 fx⩽3 得： -π2+kπ＜x2-π3⩽π3+kπk∈Z ，解得： -π3+2kπ＜x⩽4π3+2kπk∈Z ，
则 fx⩽3 的解集为 -π3+2kπ,4π3+2kπk∈Z .
16．【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可；
（2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可.
【详解】（1），，其中，
，
或.
（2）与垂直，，
于是，，
，
.
17．【答案】（1） S=1003sin2x-π6 ， x∈π6,π2 ；
（2）当 x=π3 时，四边形 CDOE 的面积最大为 1003 平方米.
【详解】（1）由题意，要得到四边形 CDOE ，则 ∠COD=x∈π6,π2 ，
利用直角三角形面积公式得到：
S=S△COD+S△COE=12×20sinx×20csx+12×20sin2π3-x×20cs2π3-x
=100sin2x+100sin4π3-2x=100sin2x+12sin2x-32cs2x
=10032sin2x-32cs2x=100332sin2x-12cs2x=1003sin2x-π6 ， x∈π6,π2 .
（2）由（1）知： S=1003sin2x-π6 ， x∈π6,π2 ，所以 2x-π6∈π6,5π6 ，
所以当 2x-π6=π2 时，即 x=π3 时，四边形 CDOE 的面积最大，
即 Smax=1003sinπ2=1003 平方米.
18．【答案】（1） π3
（2） b=c=2
（3）证明见解析
【详解】（1）因为 acsC+3asinC-b-c=0 ，
由正弦定理可得 sinAcsC+3sinAsinC-sinB-sinC=0 ，
即 sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC ，
即 sinAcsC+3sinAsinC=sinA+C+sinC ，
所以 sinAcsC+3sinAsinC=sinAcsC+csAsinC+sinC ．
即 3sinAsinC=csAsinC+sinC ，又 0＜C＜π ，则 sinC＞0 ，
整理得 3sinA-csA=1 ，即 32sinA-12csA=12 ，所以 sinA-π6=12 ，
又 0＜A＜π ，所以 -π6＜A-π6＜5π6
所以 A-π6=π6 ，则 A=π3 ．
（2）由 A=π3 ， S△ABC=12bcsinA=3 ，得 bc=4 ．
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccsA=b+c2-2bc-2bccsA ，
则 b+c2=a2+3bc=4+3×4=16 ，所以 b+c=4 ，解得 b=c=2 ．
（3）由（2）可知 △ABC 为等边三角形，
连接 AO 并延长，交 BC 于 D ，则 D 是 BC 的中点，
设 AM=λABλ＞0 ， AN=μACμ＞0 ， AB=b ， AC=c
则 AD=12AB+AC=12b+c ， AO=23AM=13b+c ①，
又 AM=λAB=λb ， AN=μAC=μc ②，
所以 MN=AN-AM=μc-λb ， MO=AO-AM=13b+c-λb=13-λb+13c ．
因为 M ， O ， N 三点共线，故存在实数 tt＞0 ，使 MO=tMN ，
即 13-λb+13c=tμc-λb ，
所以 13=μt13-λ=-λt ，所以 1λ+1μ=3 ，又 AB=AC=2 ，
则 1AM+1AN=1λAB+1μAC=12λ+12μ=121λ+1μ=32 ，
即 1AM+1AN=32 ，即 1AM+1AN 的值为常数；
19．【答案】（1） 22,-22 或 -22,22 ；
（2） 3-12 ；
（3） -3 .
【详解】（1）依题意 OM=1,1 ， ON=a,b ，由 OM 与 ON 垂直得 OM⋅ON=a+b=0 ，
ON=a,-a ，因此与 ON 平行的单位向量为 ±ON|ON|=±221,-1=±22,-22 ，
所以与 ON 平行的单位向量为 22,-22 或 -22,22 .
（2）依题意 AB=1,1 ， |AB|=2 ，
gx=312csx+32sinx+32csx-12sinx=sinx+3csx ，则 AC=1,3 ， |AC|=2 ，
所以 △ABC 的面积 S△ABC=12|AB||AC|sin∠BAC=12|AB||AC|2-AB⋅AC2
=128-1+32=121-32=3-12 .
（3）依题意 hx=3sinx+csx=2sinx+π6
在 △ABC 中，由 hA=2 ，得 sinA+π6=1 ，而 0＜A＜π ，则 A=π3 ，
由正弦定理得 △ABC 的外接圆半径 R=12⋅asinA=12⋅332=1 ，
由点G为 △ABC 的外心，得 |GA|=|GB|=|GC|=1 ，且 ∠BGC=2π3 ，
GA⋅AB+GA⋅AC=GA⋅GB-GA+GA⋅GC-GA=GA⋅GB+GA⋅GC-2GA2
=cs∠AGB+cs∠AGC-2=cs∠AGB+cs4π3-∠AGB-2
=12cs∠AGB-32sin∠AGB-2=cs∠AGB+π3-2 ，
由 0＜∠AGB⩽π 且 0＜4π3-∠AGB⩽π ，得 π3⩽∠AGB⩽π ， 2π3⩽∠AGB+π3⩽4π3 ，
因此当 ∠AGB+π3=π ，即 ∠AGB=2π3 时， cs∠AGB+π3min=-1 ，
所以 GA⋅AB+GA⋅AC 的最小值为 -3 .