2025年四川省达州市中考数学试卷附答案

这是一份2025年四川省达州市中考数学试卷附答案，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作（ ）
A．+60元B．+40元C．﹣40元D．﹣60元
2．（4分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×105B．1.1×104C．1.1×105D．11×103
4．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．145°
5．（4分）下列各式运算结果为a6的是（ ）
A．a3+a3B．a3•a3C．a12÷a2D．（a3）3
6．（4分）小明随机抽查爱民小区6户家庭几均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3）．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5B．中位数是6C．平均数是6D．极差是3
7．（4分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8
C．5x+5y=102x+5y=8D．5x+2y=102x+2y=8
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若x−1有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．21B．14C．13D．9
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题4分.共20分）
11．（4分）因式分解：m2+2m＝ ．
12．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
13．（4分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
14．（4分）化简：3xx−y−5−3xy−x= ．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（12分）（1）计算：（2025−1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|；
（2）解不等式：3x−12≤2x+13，并把解集表示在数轴上．
17．（10分）项目调研
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，查向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
18．（7分）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；
（2）完成对丙同学作法的验证．
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB．
19．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标．
20．（8分）
为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
21．（9分）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
22．（8分）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．
（1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+22BP的值最小时，求△BPE的面积．
25．（10分）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+ ，则AF＝ + ；
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值；
拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝45，求S△PAC+S△PBE的值．
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作﹣40元．
故选：C．
2．【解答】解：从正面看该组合体，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形．
故选：B．
3．【解答】解：11000＝1.1×104．
故选：B．
4．【解答】解：∵AC∥OF，
∴∠1＝∠AFO，
∵BC∥OF，
∴∠2＝∠BFO，
∵∠1+∠2＝35°，
∴∠AFB＝∠AFO+∠BFO＝∠1+∠2＝35°，
故选：A．
5．【解答】解：A．原式＝2a3，故本选项不符合题意；
B．原式＝a6，故本选项符合题意；
C．原式＝a10，故本选项不符合题意；
D．原式＝a9，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．【解答】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，
A．众数是5，说法正确，符合题意；
B．中位数是5，原说法错误，不符合题意；
C．平均数是3+4+5+5+6+76=5，原说法错误，不符合题意；
D．极差是：7﹣3＝4，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
7．【解答】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
8．【解答】解：A、两点之间线段最短，故A符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、若x−1有意义，则x的取值范围是x≥1，故C不符合题意；
D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，故D不符合题意；
故选：A．
9．【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴BD＝AD，
∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13．
故选：C．
10．【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
当x＝﹣1时y＞0，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确；
∴−b2a=2，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确；
∴abc＜0，故结论①正确，
综上，说法正确的有4个，
故选：D．
二、填空题（每小题4分.共20分）
11．【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案为：m（m+2）．
12．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
13．【解答】解：∵圆锥的底面半径为2，
∴扇形的弧长为2π×2＝4π．
故答案为：4π．
14．【解答】解：∵3xx−y+5−3xx−y
=3x+5−3xx−y
=5x−y，
故答案为：5x−y．
15．【解答】解：过点C作CD⊥x轴，
∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，
∴CD=12AB=AD=12，
∴C(12，12)，
∴C1是由C(12，12)先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴C1(−12−1，−12)，
同理：C2(12+1−2，12)，C3(−12−1+2−3，−12)，C4(12+1−2+3−4，12)，C5(−12−1+2−3+4−5，−12)，⋯，
∴C1(−12−1，−12)，C3(−12−2，−12)，C5(−12−3，−12)，…，
∴C2n−1(−12−n，−12)，
∵2025＝2×1013﹣1，
∴C2025(−12−1013，−12)，
即C2025(−20272，−12)，
故答案为：(−20272，−12)．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．【解答】解：（1）（2025−1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|
＝1﹣1+2
＝2；
（2）3x−12≤2x+13，
3（3x﹣1）≤2（2x+1），
9x﹣3≤4x+2，
9x﹣4x≤2+3，
5x≤5，
x≤1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
17．【解答】解：（1）参加研学的总人数为20÷10%＝200（名），
参加D研学基地人数为200×15%＝30（名），
参加A研学基地人数为200﹣50﹣40﹣30﹣10＝60（名），
条形统计图补充为：
参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数为360°×50200=90°，
故答案为：90°；
（2）2000×60200=600（名），
所以估计全校参加A研学基地的学生人数为500名；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，两位同学选择相同研学基地的结果数为2，
所以两位同学选择相同研学基地的概率=26=13．
18．【解答】（1）解：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②等腰三角形的三线合一．
故答案为：SSS，等腰三角形的三线合一；
（2）证明：∵∠AED＝∠AOB，
∴ED∥OB，
∴∠EPO＝∠POB，
∵EO＝EP，
∴∠EOP＝∠EPO，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP平分∠AOB．
19．【解答】解：（1）∵双曲线y=mx(m≠0)经过点A（2，2），B（﹣4，a），
∴m＝2×2＝4＝﹣4a，
∴a＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），反比例函数解析式为：y=4x，
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，2），点B（﹣4，﹣1），
∴−4k+b=−12k+b=2，
解得：k=12b=1，
∴一次函数解析式为：y=12x+1；
（2）∵点P在x轴上，S△AOP＝3，
∴12OP×yA=3，
∴12OP×2=3，
∴OP＝3，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
20．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设BD＝x米，
∵AB＝x米，
∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD•tan30°=33（x+30）米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD•tan45°＝x（米），
∴x=33（x+30），
解得：x＝153+15，
∴CD＝（153+15）米，
∴无人机离湖面的高度为（153+15）米．
21．【解答】解：（1）①a2+b2＝c2，
②∠A+∠B＝90°；
③sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
故答案为：a2+b2＝c2；∠A+∠B＝90°；sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
（2）四边形ADBE是菱形，
证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD=12AC，
∴四边形ADBE是菱形．
22．【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件，
故答案为：（60+10x）；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，
整理可得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
由于要让利于游客，x＝1 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）
＝（10﹣x）（60+10x）
＝﹣10x2+40x+600
＝﹣10（x﹣2）2+640，
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
23．【解答】解：（1）PB是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PBO＝∠ABO+∠PBA＝90°，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PA＝PB，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣∠DCE＝120°，
∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠PAB＝120°，
∴∠ADC＝∠BCE，
∴△ADC∽△BCE，
∴ADBC=ACBE=CDCE，
∵CDCE=12，
∴AD=12BC，AC=12BE，
∴4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，
如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=12AB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠OAF＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴在Rt△AOF中，AO＝r，OF=12AO=12r，
∴AF=AO2−OF2=r2−(12r)2=32r，
∴AB=2AF=2×32r=3r，
∴4AD+BE=23r．
24．【解答】解：（1）把B的坐标（3，0），C的坐标（0，3）代入抛物线的解析式，
得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（2）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠FEA＝∠CBO＝45°，
∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE，
∴EO＝AO＝FO＝1，
∴△AEF的外接圆直径是 AE＝2，
∴则其外接圆的半径 R＝1，
∵AE=EF=AE⋅sin45°=22×2=2，
∴12AF⋅r+12EF⋅r+12AE⋅r=12AE⋅FO，即(2+2+2)⋅r=2，
解得：r=2−1，
∴rR=2−1；
②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M的坐标是（1，4），
∴直线x＝1与x轴的交点T的坐标是（1，0），
作PQ⊥x轴于点P，
则在直角三角形BPQ中，PQ=BP⋅sin45°=22BP，
∴MP+22BP=MP+PQ，
∴当M、P、Q三点共线且MQ⊥x轴时，MP+22BP的值最小，此时Q、T重合，
当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO＝∠ECO时，如图，
∵∠COA＝∠COE＝90°，CO＝CO，
∴△ACO≌△ECO，
∴AO＝EO＝1，
∴E、T重合，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴点P的坐标是（1，2），
∴BE＝PE＝2，
∴S△BPE=12×2×2=2，
当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，
如图，作FK⊥AC于点K，则OF＝KF，
设OF＝KF＝a，则CF＝3﹣a，
∵sir∠ACO=FKCF=OAAC，且AC=12+32=10，
∴a3−a=110，
解得a=10−13，
∴OF=10−13，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OBC＝45°，
∴OE=OF=10−13，
∴BE=3−OE=3−10−13=10−103，
∴S△BPE=12×10−103×2=10−103，
由于∠OEF＝45°，∠OEC＜90°，
∴点F不可能在△AEC 的内角∠AEC 的平分线上，
当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，
符合题意，则BE＝BO＝3，
∴S△BPE=12×3×2=3，
综上：△BPE 的面积为2或3或10−103．
25．【解答】解：探究发现：由图可知S△ABC＝S△APC+S△APB
=12AC•PD+12BC•PE
=12BC•（PD+PE）
=12BC⋅AF，
∴AF＝PD+PE，
故答案为：S△APB，PD，PE；
实践应用：如图，过G作GM⊥AG于点M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AMG中，AG＝1，
∴AM＝AG•cs30°=12，GM＝AG•sin60°=32，
∵AC＝3，
∴CM＝AC﹣AM=52，
在Rt△CGM中，CG=CM2+GM2=7，
∵线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∴△CGF为等边三角形，
∴GF＝CF＝CG=7，∠F＝60°，
过G作GN⊥CF于点N，
在Rt△GFN中，GN＝GF•sin60°=212，
由（探究发现）可知PD+PE＝GN=212；
拓展延伸：如图，延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M，
设CD＝x，则AC＝2+x，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，BD＝45，
∴在Rt△ACB中，BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣（2+x）2，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝（45）2﹣x2，
∴100﹣（2+x）2＝（45）2﹣x2，
解得x＝4；
∵BE＝AC＝2+4＝6，
∴AC=BE，
∴AC+CE=BE+CE，即AE=BC，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴△ABQ为等腰三角形，
∵AC⊥DP，BC⊥AC，PM⊥BE，
∴由（探究发现）可知BC＝PD+PM，
在Rt△ABC中，BC=102−62=8，
∴PD+PM＝8，
∴S△PAC+S△PBE
=12AC•PD+12BE•PM
=12×6×PD+12×6×PM
＝3（PD+PM）
＝3×8
＝24．
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数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
调研内容
阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．
数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C．
B
B．
A
B
A
A
A
C
D