浙江省2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份浙江省2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 下列函数中最小值为4的是， 函数的图象大致为， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集和补集的概念计算即可.
【详解】∵集合，，∴，
又全集，∴
故选：D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. ，B. “且”是“”的充要条件
C. ，D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的性质可判断A；根据充分条件与必要条件的概念可判断B，D；解方程可判断C.
【详解】对于A，，，当x=-1时，取等号，故A错误；
对于B，当且时，可得，充分性成立；
当时，不一定有“且”，如，
则“且”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，由得，因为，所以，
则不存在，使成立，故C错误；
对于D，或，
则当时不一定有，充分性不成立；
当时，一定有，必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：D.
3. 已知集合，则的值为（ ）
A. 0B. 1
C. D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值.
【详解】集合，两个集合中元素完全相同，
由，则有，得，有，
所以，由集合中元素的互异性，有，得，
则有.
故选：B.
4. 设函数，则（ ）
A. 奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义和指数函数的单调性可得结论．
【详解】函数的定义域为，
，可得为奇函数，
函数和在上都单调递增，可得单调递增，
故选：A．
5. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断A；当时，即可判断B；利用基本不等式可判断C；根据对勾函数的性质可判断D.
【详解】对于A，为二次函数，其对称轴为，
则时，取最小值3，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故C正确；
对于D，令，则，
根据对勾函数的性质可知，当时，单调递增，
则时，取最小值，故D错误.
故选：C
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及特值法可判定选项.
【详解】令，则，
则为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D；
当时, ，可排除A，从而B正确.
故选：B.
7. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：若满足，则，故B错误；
对于选项C：若，则，即，故C正确；
对于选项D：若满足，则，故D错误；
故选：C.
8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性得出取值情况，进而解不等式即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以，当或时，；当时，.
不等式可变形为，或，
所以，或，
解得或，即的取值范围是.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.
9. 已知幂函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 是减函数
C. 的值域为D. 是偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】由幂函数的性质，判断的定义域值域单调性和奇偶性.
【详解】幂函数，函数定义域为，A选项正确；
由幂函数的性质可知，在上单调递增，值域为，
B选项错误，C选项正确；
函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误.
故选：AC.
10. 已知集合，，则下列选项中正确的是（ ）
A. 集合有32个子集B.
C. 中所含元素的个数为10个D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项由公式计算集合的子集个数；由定义列举集合B中的元素，判断选项BCD.
【详解】集合中有5个元素，则集合有个子集，A选项正确；
由，
则，
中所含元素的个数为10个，C选项正确；
，，B选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数在定义域内是减函数
B. 若，则函数的最大值为
C. 若不等式对一切实数恒成立，则
D. 若，，，则的最小值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A取反例否定；对于B、D运用基本不等式逐一判断即可；对于C分两种情况与判断否恒成立即可
【详解】对于A：取显然，所以A不正确；
对于B：∵，∴，，
因为，当且仅当时取等号，
当时取等号，所以
所以，所以B正确；
对于C：当时，恒成立；当时，则，∴.
所以，故C正确；
对于D：因为，，所以由，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的定义域为，则的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可.
【详解】因为的定义域为，
对于函数，需使，解得，
即的定义域是，
故答案为：
13. 计算__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂和指数运算可得.
【详解】
故答案为：
14. 设，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.
【详解】，
，
令
又，
，当且仅当时等号成立,
,
上单调递减，
时，

的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.
15. 已知集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用集合的运算求解即可；
（2）由，得，分两种情况讨论求的取值范围.
【小问1详解】
若，则，
又，
∴；
∵或x>1，
∴或.
【小问2详解】
若，则．
当时，有，解得，符合题意；
当，由得，解得
综上，的取值范围为.
16. 已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上为增函数，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，零点分段去绝对值，解不等式；
（2）零点分段去绝对值，把表示成分段函数，利用在上为增函数，求的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
等价于或，解得.
不等式的解集为.
【小问2详解】
，
在上为增函数，且的图象是连续曲线，
函数在上单调递增，符合题意；
函数在上单调递增，则有，解得.
所以的取值范围为.
17. 某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数：
（1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【答案】（1）
（2）当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元.
【解析】
【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润=总收入-总成本即可得到答案；
（2）分段函数，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出定义区间内的最值，比较即可得到答案．
【小问1详解】
由题可知总成本为，
∴利润.
【小问2详解】
当， ，∴当时，有最大值；
当时，是减函数，∴.
∴当时，有最大值，
即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元.
18. （1）已知，，且，求的最小值；
（2）设，，若，求的最小值；
（3）求函数的最大值.
【答案】（1）4；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题可将化简为，再利用基本不等式求解即可；
（2）利用换元思想，原式可化为，再利用基本不等式即可；
（3）由定义域可得，可先求在区间上的最大值，令，利用二次函数的性质求解，
【详解】（1）因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4．
（2）设，，若，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以时，的最小值为；
（3）函数有意义，则有，解得，
即函数的定义域为，有，
求函数的最大值，可先求在区间上的最大值，
令，则，
故，
再令，则，
结合二次函数的图象，当时，得有最大值，
则时有最大值，从而时的最大值为.
19. 已知定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数且，求出的值得函数的解析式；
（2）定义法判断并证明在上的单调性；
（3）依题意有，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可.
【小问1详解】
定义在R上的奇函数，有，
，解得，得，
函数定义域为R，，是奇函数，
所以.
【小问2详解】
在上的单调递增，理由如下，
任取，则，
由，有，，，，
得，即，
所以在上的单调递增.
【小问3详解】
，
若，对，有，
则需要，
在上的单调递增，，
，函数图象抛物线开口向上，对称轴为，
当，即时，在1,2上单调递减，
，解得，则有；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
得恒成立，则有；
当，即时，在1,2上单调递增，
，解得，则有；
综上可知，实数的取值范围为