浙江省杭州市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试卷含解析

这是一份浙江省杭州市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试卷含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1 已知复数 ，则 （ ）
A. 13 B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断.
【详解】 ， .
故选：D.
2. 设 m，n，l 是不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可．
【详解】对于 A，由 ， 与 可能平行，相交或异面，故 A 错误；
对于 B，由 ， 与 可能平行或相交，故 B 错误；
对于 C，由线面平行的性质定理可得 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，则 与 可能平行或异面，故 D 错误.
故选：C.
3. 已知向量 满足 且 ，则 与 的夹角为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设向量 和 的夹角为 ，由 ，结合 ，列出方程，求得 ，即可
求解.
【详解】设向量 和 的夹角为 ，其中 ，
因为 且 ，可得 ，
所以 ，可得 .
故选：B.
4. 函数 在 的图像大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，可判断 A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断 ,可得答案.
【详解】由题意函数 ， ，
则 ，故 为奇函数，
其图像关于原点对称，故 A 错误；
又因为 ， ,可判断 B 错误，
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，故 错误，
只有 D 中图像符合题意，故 D 正确，
故选：D
5. 已知 ， 均为非零向量，其夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据 求出 ，分析充分性，根据 求出 分析必要性.
【详解】因为 ，所以 或 ，
当 时，则 ， 同向共线，
则 ，则充分性不成立，
若 ，则 ， 反向共线，
则 ，此时 ，即必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C.
6. 在 中，角 所对的边分别为 .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理得到 ，求得 ，再由余弦定理，求得 ，结
合余弦定理，即可求得 的值，得到答案.
【详解】解：因为 ，
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由正弦定理 ，可得 ，即 ，可得 ，
又由余弦定理，可得 ，所以 ，
则 .
故选：A.
7. 在三棱锥 中， ， ， ，点 P 在平面 上投影为 A，则三
棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在 中由余弦定理求得 ，由题意 平面 ，进而确定外接球球心 ，由球心与相
关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.
【详解】如图，在 中，由余弦定理， ，
， ，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理， ，则 ，
设外接球的球心为 ，半径为 ， 的外接圆的圆心为 ，
由题可得 平面 ，而 平面 ，
过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
则 ，易得矩形 ，则 ，
在直角三角形 中， ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：A.
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8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和
谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，
关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 使得不等式
成立的实数 m 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 关于直线 对称，判断 在 上单调递增，由此可得
，运算得解.
【详解】 ，
，
所以函数 关于直线 对称，
当 时， ，
由对号函数单调性可知 在 时单调递增， 单调递增，
所以 在 上单调递增，
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由 ，可得 ，
，化简整理得 ，
解得 .
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，其中 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. B. ，则
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A，由虚数单位 的 次方规律求解判断；对 B，由复数的虚部不为 0 时，复数不能比较大小判
断；对 C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对 D，举反例说明.
【详解】对于 A，因为 的取值是以 4 为周期，所以 ，故 A 正确；
对于 B，当复数的虚部不为 0 时，复数不能比较大小，如 ， ，故 B 错误；
对于 C，设 ，则 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，举反例，如 ，则 ，而 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知点 O 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 O 为 的外心， ， 则
B. 若 O 为 的垂心， ，则
C. 若 ，则 与 的面积之比为
D. 若 ， 的面积为 8，则 的面积为 14
【答案】BD
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【解析】
【分析】对 A，利用向量线性运算可得 ，根据向量数量积运算律求解
判断；对 B，由 ，结合 得解；对 C，由奔驰定理得解；对 D，
将条件式利用向量运算转化为 ，再由奔驰定理得解.
【详解】对于 A，由 ， ，则 ，
，故 A 错误；
对于 B，由 ，又 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，由奔驰定理可得 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，则 ,
即 ，由奔驰定理可得 ，
又 ，则 ，故 D 正确.
故选：BD.
11. 已知函数 的定义域均为 ，且 , ，若 的图
象关于直线 对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. ， D. 若 的值域为 ，则
【答案】BCD
【解析】
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【 分 析 】 由 得 ， 与 联 立 得
，再结合 的图象关于直线 对称，可得 的周期、奇偶性、对称
中心，可依次验证各选项正误.
【详解】 ， ，
， ，
关于 对称， ，
， ， ，
，故 C 正确；
关于 对称， ， ， 为偶函数，
， ， ， ，
， 为偶函数，故 A 错误；
， 图象关于点 中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于 对称 ，
，故 D 正确；
由 得 ，又 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，故 B 正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有 混合关系的抽象函数，要探求 性质首先要消去一个
函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对 进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再
考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应
该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， ， ，
，则原多边形面积为____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的
倍，求出平面图形的面积.
【详解】因为直角梯形 ， ，
所以直观图的面积是
因为原来的平面图形面积是直观图面积的 倍，
所以平面图形的面积是
故答案为：
13. 已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，问题转化为函数 的图象和直线 在 上有两个交点，判
断 的单调性和最值，得解.
【详解】因为函数 在 上有两个零点，
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所以函数 与直线 在 上有两个交点，
，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
最大值为 ，又 ， ，
.
故答案为： .
14. 如图，矩形 中， ， 分别为边 上的点，若 ，则
的面积的最大值为________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 ， 可 得 ， ， 从 而 得
，利用换元法及基本不等式求解即可.
【详解】解：设 ，
则 ，
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则在 中，易知则 ，
所以 ；
在 中，易知则 ，
所以 ；
所以
，
令 ，
因为 ，所以 ，
所以
，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ， 时等号成立，
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题 关键是将三角形 的面积化成关于 的函数，再利用换元法及基本不
等式求解.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 与 的值；
（2）若 ， ，求向量 ， 的夹角的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行，垂直坐标关系运算得解；
（2）求出向量 的坐标，利用向量夹角公式求解.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，解得 ，
由 ，可得 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1） ， ，
， ，
设 的夹角为 ，
则 ，又 ，
.
所以向量 的夹角为 .
16. 如 图 是 一 个 以 为 底 面 的 正 三 棱 柱 被 一 平 面 所 截 得 的 几 何 体 ， 截 面 为 △ ABC.已 知
.
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（1）求几何体 的体积；
（2）线段 上有一动点 ，求使 最小时 的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在 上取点 ，使得 ，在 取点 ，使得 ，得到三棱柱
为正三棱柱，再取 的中点 ，取 的中点 ，证得 平面 ，根据锥体
和柱体的体积公式，结合 ，即可求解；
（2）解：将梯形 沿 为旋转轴，展在平面 上，使得 变为 点，连接 ， 得到
与 的交点，即为点 ，结合 ，求得 ，进而求得 的长.
【小问 1 详解】
解：在 上取点 ，使得 ，在 取点 ，使得 ，
如图所示，连接 ，则三棱柱 为正三棱柱，
取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以几何体的体积为 .
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【小问 2 详解】
解：如图所示，将梯形 沿 为旋转轴，展在平面 上，
使得 变为 点， 变为 点，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在直角 中， ，
所以 ，此时 取得最小值，
所以 与 的交点，即为点 ，
又因为 ，所以 ，
可得 ，所以 ，所以
17. 设 的内角 A，B，C 所对的边分别为 b，c，且满足 ， ．
（1）求 A；
（2）若 为锐角三角形，求周长的取值范围；
（3）若 的内切圆半径 ，求 的面积 S.
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出 ，即可得解；
（2）由正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题，计算即可得；
（3）由三角形内切圆的性质可得 ，结合余弦定理计算即可得解.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ,
，
,
，又 ，则 ,
，又 ，
.
【小问 2 详解】
由（1） ，由正弦定理得 ， ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ，
，则 ，
，
所以 的周长范围为 .
【小问 3 详解】
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由 ，
，即 ，
由余弦定理得 ，得 ，
，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
18. 已知函数 为偶函数.
（1）求实数 k 的值;
（2）若函数 有两个零点，求实数 a 的取值范围;
（3）若函数 ， 是否存在实数 m 使得 的最小值为 0，若存
在，求出实数 的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义计算 ，化简求出可结果.
（2）函数 有两个零点，即方程 有两个实数根．化简 ，根据复合函数单调性
可求出 的最小值，从而求出 的范围.
（3）化简 可得出 是以 为整体的二次型函数，令 ，根据二次函数轴动区间
定讨论函数的最小值，即可求出 的值.
【小问 1 详解】
是偶函数，
即 对任意 恒成立，
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，
【小问 2 详解】
函数 有两个零点，即方程 有两个实数根．
令 ，则函数 的图象与直线 有两个交点，
由复合函数的单递性知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
当且仅当 即 时，等号成立.
的取值范围是
【小问 3 详解】
， ，
令 ， ，则 ， ，
的最小值为 0，
或 或
或 或
19. 已知函数
（1）若 求 值；
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（2）试求 的取值范围，猜想当 时 的取值范围 不需写出证明
过程 ；
（3）存在 使得关于 x 的不等式 对任意的 恒成立，求 a
的取值范围.
【答案】（1）
（2） ， ， ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ， ，利用立方和公式化简
，运算得解；
（2）根据 的解析式，结合三角变换和三角函数的有界性求出 的范围，并猜想
的范围；
（3）由 ，可将问题转化为 恒成立，换元令
， ，可得 在 上恒成立，运算得解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
又 ，得 ，
.
【小问 2 详解】
，
第 18页/共 19页
，
，
所以当 时， .
【小问 3 详解】
存在 ，使得关于 不等式 对任意的 恒成立，
，
恒成立，
令 ，则 ，
则 在 上恒成立，
即 ，其中 ，
，得 .
所以 的取值范围为 .
第 19页/共 19页