湖南省2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题含解析

这是一份湖南省2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题含解析，共17页。试卷主要包含了 若集合，则， 设，则“”是“”的， 已知，则下列不等式成立的是， 已知函数对任意，总有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.
1. 已知集合或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再根据补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得或，
由图知阴影部分表示的在中的补集，
则阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解.
【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误；
对B：有，解得，由时，，故，故B正确；
对C：有，解得，由时，，故，故C错误；
对D：有，解得，由时，，故，故D错误.
故选：B.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别得出及时的与的关系，结合充分条件与必要条件定义即可判断.
【详解】由函数在上单调递增，故当时，有，
若，则，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域和被开方数大于等于以及分母不等于得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得-1≤x+1≤4x-1>0，解得，则其定义域为.
故选：D.
5. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得.
【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增，
故有，解得.
故选：D
6. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合偶函数定义与二次函数单调性，可得为偶函数及其单调性，则可结合，，lg23>32从而得解.
【详解】定义域为R，有，
故为偶函数，
则，
当时，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
由lg23=12lg232=12lg29>12lg28=32，
又，即lg23>32>lg32>14，
故.
故选：A.
7. 已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得函数在上单调递增，即可得存在，使得成立，即有恒成立，解出即可得.
【详解】由函数对任意，总有，
故在上单调递增，
即存在，使得，即成立，
即有恒成立，解得.
故选：C.
8. 已知函数是定义在上增函数，当时，.若，其中，则（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列举法一一验证即可.
【详解】由题意可知，所以，即，所以．
若，得，所以，矛盾．
若，得，所以，这与是0,+∞上的增函数矛盾．
所以．
所以，得；
所以，得；
所以，得．
因为，且，，
从而，
故选：C.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知甲､乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ）
A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动
B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到
C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样
【答案】BC
【解析】
【分析】根据路程与时间的函数图象，由知摩托车是匀速运动；两函数交点说明行驶路程相等；图象与轴交点横坐标为出发时间，与的交点横坐标为到达时间，即可判断选项正误.
【详解】对A：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，故A错误；
对B：由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点及其所对应的时间值，
可得骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到，故B正确；
对C：两条曲线的交点的横坐标对应着，结合图象知C正确；
对D：骑摩托车者在出发后追上自行车，而它们的车速不同，故D错误.
故选：BC.
10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 是偶函数
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D.
【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确；
对B：由，其定义域为，故B错误；
对C：由，故是偶函数，故C正确；
对D：由，故在0,+∞上单调递减，又是偶函数，
故可得，对，即有，
整理得，解得，
由、可得、，
故，故D错误.
故选：AC.
11. 用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C. ，都有
D. 与图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. ______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：6.
13. 已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等价于有解，解出即可得.
【详解】由均为正实数，且，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
则不等式有解等价于有解，
即有，解得或.
故答案为：.
14. 已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的对称性可设的值域为-m,mm>0，结合题意及二次函数的性质可得且或，解出即可得.
【详解】，若，则，
由函数为上的奇函数，则可设的值域为-m,mm>0，
则有且或，解得，
经检验，满足题意，故的值域为.
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）求集合；
（2）设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）分、、解出不等式即可得解；
（2）结合（1）中所得分类讨论，结合中恰有2个整数元素即可得解.
【小问1详解】
，
令，解或.
当时，有恒成立，故；
当时，有，故或；
当时，有，故或.
综上所述，当时，；
当时，或；
当时，或.
【小问2详解】
当时，，则，不符合要求；
当时，或，则，
由中恰好有2个元素，故，则，解得；
当时，或，则，
由中恰好有2个元素，故，则，解得；
综上所述，或.
16. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
（1）求；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1），
（2）在区间上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解；
（2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得；
（3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解.
【小问1详解】
由函数是定义在区间上的奇函数，
可得，即，
由，则，解得，故，
检验：当时，有，
函数是定义在区间上的奇函数，符合要求，
故，；
【小问2详解】
在区间上单调递增，证明如下：
由（1）得，令，
则
，
由，故、、、，
故，
即当时，，
故在区间上单调递增；
【小问3详解】
由，即，
由在区间上单调递增，
故有，解得.
17. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）若，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，求出的单调性，求出在区间上的最小值；
（2）由题意得在的值域包含于在的值域，分、和三种情况并结合单调性求解.
【小问1详解】
，令，，
所以，在单调递增，
所以，
所以在区间上的最小值为；
【小问2详解】
由题意得在的值域包含于在的值域，
由二次函数的性质得的值域为，
当时，符合题意，
当时，，可知函数单调递增，
所以，
所以，所以，
当时，为对勾函数，，
所以，，此时，
所以，又，可知无解；
综上，.
18. 对1个单位质量含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为.设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度.
（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？
【答案】（1）两种方案的用水量分别为19和，方案乙的用水量较少
（2）第一次与第二次用水量分别为和时，用水量最小
【解析】
【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，由求出，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次的用水量满足方程，从而可求出，从而比较可得结论；
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，求出和的关系式，当为定值时结合基本不等式求出的最小值即可得.
【小问1详解】
设方案甲与方案乙的用水量分别为，
则由题意得，解得，
由，可令，解得，
即方案乙初次用水量为3，
第二次用水量满足，
解得，所以，
即两种方案的用水量分别为19和，
因为时，，
所以，所以方案乙用水量较少；
【小问2详解】
设初次与第二次清洗的用水量分别为与，
类似（1）得，
所以
，
当为定值时，
，
当且仅当时取等号，
此时不合题意舍去，或，
将代入，
得，
所以时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为和，
最少用水量为.
19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数.
（1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值.
（2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；
（3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数.
【答案】（1），
（2）对称中心为，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得；
（2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得；
（3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，从而得到，再结合范围，分、、分类讨论后解出相应不等式组即可得.
【小问1详解】
由函数图象关于点中心对称，故有，
令，则有，故，
令，则有，
又当时，，故，
故，
即，；
【小问2详解】
对称中心为，证明如下：
由，则有，解得且，
，
故函数的对称中心为；
【小问3详解】
设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称，
由，则有、，
则有，，又、、，，
则必有，
若，则，，
则有，
解得，又，故，
此时数组有个；
若，则，，
则有，
此时不存在整数解，故不符合要求；
若，则，，
则有，
解得，即，
此时数组有个；
综上所述，数组的个数为.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而得到.