重庆市育才中学校2024-2025学年高三下学期高考模拟考试(二)数学试题

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本试卷为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项:1. 答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效；
3. 考试结束后,将答题卡交回。
第 I 卷
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题 目要求的.
1. 已知复数 z 满足 iz=1−2i ( i 为虚数单位),则 z=
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
2. 已知集合 A={1,a},B=−1,a2 ,若 A∩B={a} ,则实数 a 的取值集合为
A. {0} B. {−1,0} C. {0,1} D. {−1,0,1}
3. 用二分法求方程 x+lgx−3=0 的近似解,以下区间可以作为初始区间的是
A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,5
4. 下列函数中,其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是
A. y=ln2+x B. y=ln1+x C. y=ln2−x D. y=ln1−x
5. 已知 m,n 是两条不重合的直线, α,β 是两个不重合的平面,则下列说法正确的是
A. 若 m⊥α,n//β,α⊥β ,则 m⊥n
B. 若 m⊥n,m⊥α,n//β ,则 α⊥β
C. 若 m//n,m//α,n//β ,则 α//β
D. 若 a//α,a⊂β,α∩β=b ,则 a//b
6. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 中 F1,F2 分别为 C 的左,右焦点,点 P 为椭圆图象上的一点, ∠F1PF2=π3 ,
且 PF1,F1F2,PF2 成等比数列,则椭圆的离心率为
A. 14 B. 12 C. 13 D. 33
7. 若正实数 a,b 满足 ab+a+b=8 ,则 a+12+b+12 的最小值是
A. 15 B. 18 C. 24 D. 36
8. 已知正三角形 ABC 的边长为 2,点 D , E 都在边 BC 上,且 BD=12BC , BE=34BC , F 为线段 AE 上一点, M 为线段 BF 的中点,则 BF⋅DM 的最小值为
A. −513 B. −38 C. 0 D. 12
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ0 与圆 C 有交点,则 r 的取值范围是 4,6 D. 当 k 变化时,若过直线 l 上任意一点总能作圆 C 的切线,则实数 k 的取值范围为 −∞,43
11. 已知随机变量 X,Y 均服从两点分布,若 PX=1=PY=1=13 ,且 PXY=0=1 ,则
A. E3X+2=3
B. PXY=1=0
C. PX=0,Y=1=29
D. PX=Y=13
第 II 卷
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 x−2x4x−1 的展开式中常数项为_____.
13. 若双曲线 M:x2−y23=1 与圆 O:x2+y2=r2r>0 交于 A,B,C,D 四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,则 r= _____.
14. 盒子中有 8 个除颜色外均相同的小球, 其中红球和黑球各有 2 个, 白球有 4 个. 现从中不放回的每次抽出一个,则前两次均抽出红球的概率为_____；若一直抽取直到小球全部抽完为止,则红球最先被抽完的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 题,共 77 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知函数 fx=x3+ax2+bx 在 x=±1 时取得极值.
( 1 )求函数 fx 的单调性；
(2)已知点 A2,2 ,求过点 A 且与曲线 y=fx 相切的切线条数.
16.(15 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=5n+3 .
( 1 )求数列 an 的通项公式；
(2) 保持数列 an 中各项先后顺序不变,在 am 与 am+1 之间插入 m 个 1,使它们和原数列的项构成一个新的数列 bn ,记 bn 的前 n 项和为 Tn ,求 T88 的值.
17.(15分)
已知 △ABC 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ΔABC 的面积为 34a2−b2−c2 .
(1)求角 A 的大小；
(2) D 为 BC 边上一点, DA⊥BA ,且 BD=3DC ,求 csC .
18.(17分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 ABCD⊥ 平面 ABP , ∠PAB=60∘ , AD=1 , AP=2 , 点 F 在线段 PD 上( F 与 P,D 不重合).
(1)若平面 ABF∩ 平面 PCD=l ,证明: l// 平面 ABCD ；
(2)当 △ABF 的面积最小时,求 PF:PD 值；
(3) 在 (2) 的条件下,若点 F1,F2,⋯,Fn 是线段 PF 的 n+1 等分点,分别过点 F1,F2,⋯,Fn 在四棱锥上作平行于平面 AFB 的截面,记相应的截面面积为 Sii=1,2,3,⋯,n ,
证明: 1ni=1nSi