九年级数学下竞赛试卷

这是一份九年级数学下竞赛试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
D. 了解我市百岁以上的老人的健康状况应用全面调查
5. 已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（ ）
A. （0，0） B. （，﹣） C. （1，﹣1） D. （﹣，）
6. 已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示，并测得，接着活动学具成为图2所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，抛物线与交于点，以下结论：①无论取何值，总是负数；②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小．下列说法正确的是（ ）
A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. 只有③不正确 D. ①②③都正确
（15题图）
二、填空题（每小题2分，共20分）
9. 用科学记数法表示数据是________．
10. 函数y= x−3x 中，自变量x的取值范围是______________．
11. 若能与最简二次根式合并同类项，则x值为______．
12. 七（1）班期中数学考试成绩的最高分为98，最低分为30，如果把考试成绩绘制成直方图，组距为10，则应分的组数为______．
13. 用圆心角为，半径为的扇形作圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为____．
14. 某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域）
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． （见上图）
16. 如图，在菱形中，对角线和交于点O，，，分别以点A、点C为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．
18. 如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s．
三、解答题（共76分）
19. 计算：．
20. 先化简：，然后从不等式组的解集中，选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
21. 如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B．
（1）求a，k的值和点B的坐标；（2）将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形面积．

22. 某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等．其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形圆心角的度数为______°，选择“绿”的学生人数为_____；
（2）若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
23. 甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，且定价相同，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元?(请列方程解应用题)
(2)为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和12个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由(水瓶和水杯必须在同一家购买).

24. 如图，四边形是的内接四边形，，，连接、，过点C的切线与的延长线交于点E．（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．

25. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，抛物线的对称轴为，直线AD交抛物线于点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图1，点Q是线段上一动点，过点Q作，交于点E，连接，若点Q的坐标为，求的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；
（3）如图2，直线交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．
26. 九年级某班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
（1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则 °，与的数量关系是 ；
（2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
九年级数学竞赛试卷答案
1. B 2. A．3. C4. D．5. B．6. B．7. C．8. C．
9. 10. x≥3． 11. 4． 12. 7．
13. ． 14. ．15. ．16. ．
17. 【解】设，
∵点 F 是边的中点，
∴，
∵矩形和正方形，，
∴，轴，，，轴，
∴，，
∵点 B，E 在反比例函数()的图象上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
故答案为：2．
18. 解：∵，
∴，
在和中，
，
，
，
当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得
综上可知，t的值为或，
故答案为：2或4．
19.解：
.
20. 解：原式
．
解得．
∴整数x可以取，0，1．
∵且，
∴且．
∴当时，原式．
21. （1），，；
（2）
解：当时，，
∴，即，
将代入中，有，
∴反比例函数解析式为：，
联立：，
解得：，或，
∴，
综上所述：，，；
解：∵直线：向下平移4个单位后得到直线，
∴直线：，
联立：，解得：，或者，
∴，，
连接，如图，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴是直角三角形，且，
同理可证明，
∴四边形是矩形，
∴．
22. （1），，
（2）该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人
（3）恰好抽中A，B两人的概率为
解：此次调查一共随机采访学生（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为；
选择“绿”的学生人数为（人）；
【小问2详解】
解：（人）；
估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人；
【小问3详解】
解：列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为．
23. 解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48x）元，
根据题意得：3x+4（48x）=152，
解得：x=40，
则一个水瓶40元，一个水杯是8元；
（2）甲商场所需费用为：（40×5+8×12）×80%=236.8（元）；
乙商场所需费用为：5×40+（125×2）×8=216（元），
∵236.8＞216，
∴选择乙商场购买更合算．
24. 证明：连接，，

∵与相切，
∴，则，
由圆周角定理可知：，
∵，则，
∴，则，
∴
∴，
∵，
∴，则，
又∵是的直径，
∴，
由圆周角定理可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
解：过点作，
∵，平分
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
25. 【答案】（1），
（2），的最大值是3，
（3）存在点的坐标为，点的坐标为
解：根据题意得，，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
∵，对称轴为，
∴，
∵在抛物线的解析式，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
如图1，作轴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
即：，当时，有最大值，
∴的最大值是3；此时，则，即：点纵坐标为2，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
当时，，
∴；
【小问3详解】
抛物线，当时，，则
如图2，由，，
的解析式为：，当时，，即点的坐标为：，
过点作关于轴对称点，即，
由坐标可知，点，是关于对称轴x=1对称，
连接交对称轴于，轴于，则，
则，
则四边形的周长，
即四边形的最短周长为：．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
当时，，即；当时，，即；
26. （1）90，
（2）；
（3）或2
∵为等腰三角形，，
∴为等边三角形，
∵将绕点O旋转，得到，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
故答案为：90，；
由旋转的性质，可知，
∵为等边三角形，平分为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵F是的中点，
∴，∴是等腰直角三角形，∴；
【小问3详解】
分以下两种情况进行讨论：
①如图1．当点E在右边时，
∵，∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，∴，
由旋转的性质，得，
∴为等边三角形，
∵F是的中点，
∴平分，
∴，∴，
∴；
②如图2，当点E在左边时，
同理，可得，
∴．
综上所述，的长为或2．
A
B
C
D
A
B
C
D