九年级下学期期中数学试卷

这是一份九年级下学期期中数学试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
2．2020年12月6日6时12分，嫦娥五号在38万公里外的月球轨道上，成功完成了人类首次月球轨道无人自动交会对接和样品转移．用科学记数法表示“38万”为（ ）
A．0.38×106B．3.8×105C．38×104D．3.8×104
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2÷x2＝x
C．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣3x3）2＝9x6
5．一次函数y＝x﹣2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，点P（x，y）在该函数的图象上．那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．2
10．随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
11．如图，在菱形ABCD中，∠CBD＝75°，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交AB、AD于E、F两点，则∠DBF的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
12．如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m，方差分别是：＝0.075，＝0.04，这两名同学成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．已知m+n＝mn，则（m﹣1）（n﹣1）＝ ．
15．在学校开展的手工制作比赛中，小明用纸板制作了一个圆锥模型，它的三视图如图所示，根据图中数据求出这个模型的侧面积为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是 ．（将正确答案的序号填写下来）
①AG＝BD；②BF＝；③；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE＝EC+CQ时，AQ＝4．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（π﹣3）0﹣2cs45°﹣+|1﹣|．
18．（6分）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
19．（6分）学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得∠ABC＝45°，沿河岸到达C处，在C处测得∠ACB＝30，已知河宽为20米，求B、C之间的距离．
20．（8分）为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）王老师调查的学生人数是 ，请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1500名，请估计有多少学生选修乒乓球？
（3）现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB．
23．（9分）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？
（3）现学校通过调整校门口的入校通道，提高体温检测效率．经过调整，现在每分钟可以多通过2人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由．
24．（10分）对于平面直角坐标系上的点S与图形Ω，给出如下定义：若图形Ω上有一点T，使得ST＝4，且以T为旋转中心，把点S顺时针旋转90°后的对应点S'也在图形Ω上，则称点S为图形Ω的“初心点”；
例如：如图1，给出点S（1，﹣4）与x轴，过点S作ST⊥x轴于点T，则可得点T的坐标为（1，0），此时ST＝4，且使点S绕点T顺时针旋转90°后得到的对应点S'（﹣3，0）也在x轴上，因此点S为x轴的“初心点”．
（1）如图2，已知点A（4，0），B（﹣5，0），C（﹣1，﹣4），D（0，4），E（5，﹣4），F（4，﹣4），G（1，4），H（﹣5，4）．
①点C，D，E，F，G，H中，为线段AB的“初心点”的是 ；
②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，求a的取值范围；
（2）如图3，已知点N（n，0）为x轴上的一个动点，以N为圆心的⊙N半径长为，以P（3，0），Q（0，4）为端点的线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，求n的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．
九年级下学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：∵互为相反数相加等于0，
∴﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．2020年12月6日6时12分，嫦娥五号在38万公里外的月球轨道上，成功完成了人类首次月球轨道无人自动交会对接和样品转移．用科学记数法表示“38万”为（ ）
A．0.38×106B．3.8×105C．38×104D．3.8×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：38万＝380000＝3.8×105，
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2÷x2＝x
C．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣3x3）2＝9x6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、x与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、x2÷x2＝1，故本选项不合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
D、（﹣3x3）2＝9x6，故本选项符合题意．
故选：D．
5．一次函数y＝x﹣2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先判断出k、b的值，再根据一次函数的性质可画出函数的大致图象．
【解答】解：∵k＝1，b＝﹣2，
∴函数y＝x﹣2的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
6．一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根据算术平均数的概念求出另外一个数，再由众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，另外一个数为2×4﹣（2+1+4）＝1，
所以这组数据为1、1、2、4，
所以这组数据的众数为1，
故选：A．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①x≤1，
解不等式②得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤1，
故选：B．
8．已知函数，点P（x，y）在该函数的图象上．那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由函数y＝2+知：﹣x＞0，y＞0，即可判断出点P（x，y）在第几象限．
【解答】解：由函数y＝2+知：﹣x＞0，y＞0，
∴x＜0，y＞0，
∴点P（x，y）在第二象限，
故选：B．
9．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】连接OA，设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：连接OA，设OA＝OC＝r．
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴OE＝OC＝r，AE＝BE＝，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：r2＝（r）2+（）2，
解得r＝2或﹣2（舍弃）．
故选：D．
10．随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，根据现在生产500万份疫苗所需时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设更新技术前每天生产x万份疫苗，则更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，
依题意得：＝，
故选：B．
11．如图，在菱形ABCD中，∠CBD＝75°，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交AB、AD于E、F两点，则∠DBF的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】求出∠ABD，∠ABF，再利用角的和差定义即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CDB＝∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
由作图可知，EF垂直平分线段AB，
∴FA＝FB，
∴∠FBA＝∠A＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF＝45°，
故选：B．
12．如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；
②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③由 y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
【解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故①正确；
②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y1＝﹣（x+1）2+2，
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m，方差分别是：＝0.075，＝0.04，这两名同学成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差表示数据波动的大小，比较方差的大小即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝0.075，S乙2＝0.04
∴S甲2＞S乙2
∴乙的波动比较小，乙比较稳定
故答案为：乙．
14．已知m+n＝mn，则（m﹣1）（n﹣1）＝ 1 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．
【解答】解：（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1，
∵m+n＝mn，
∴（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝1，
故答案为1．
15．在学校开展的手工制作比赛中，小明用纸板制作了一个圆锥模型，它的三视图如图所示，根据图中数据求出这个模型的侧面积为 15π ．
【分析】从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，据此可以求得其侧面积．
【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为6÷2＝3，高为4，所以母线长为5，
所以这个模型的侧面积为πrl＝3×5π＝15π，
故答案为：15π．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是 ①③⑤ ．（将正确答案的序号填写下来）
①AG＝BD；②BF＝；③；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE＝EC+CQ时，AQ＝4．
【分析】根据正方形的性质与解直角三角形的方法逐个解题求解．①根据∠DAG＝15°可得含60°角的直角三角形AOG，求出AG＝2AO．
②由∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°得∠BAF＝∠DAE，tan∠BAF＝tan∠DAE＝＝＝，通过解直角三角形求出BF长度．
③将OP：OA转化为OP：OD，通过△ADP∽△QBP求解．
④先通过OP：OD＝1：3求出三角形OAP的面积，再通过PF与AP的比值求出三角形POF的面积．
⑤设ED＝x，EC＝2﹣x，通过相似三角形与勾股定理求出x的值从而求出AQ．
【解答】解：①∵∠DAG＝15°，
∴∠GAO＝∠DAG+∠DAO＝60°，
∴∠G＝30°，AG＝2AO，
∵BD＝2AO，
∴AG＝BD，
∴①正确，符合题意．
②∵E为CD中点，
∴DE＝CD，
∵∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴tan∠BAF＝tan∠DAE＝＝＝，
∴BF＝2AF，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB＝＝AF＝2，
∴AF＝，BF＝2AF＝，
∴②错误，不符合题意．
③∵E为CD中点，EC∥AB，
∴EC为△ABQ的中位线，C为BQ中点，
∴BQ＝2BC＝2AD，
∵AD∥BQ，
∴△ADP∽△QBP，
∴＝＝，
∴＝，
∴DP＝BD，OP＝OD﹣DP＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝＝，
∴③正确，符合题意．
④∵AB＝2，BQ＝2AB＝4，
∴AQ＝＝2，
∵＝＝，
∴AP＝AQ＝，
∴＝＝，
∴＝1﹣＝，
即S△POF＝S△AOP，
∵＝，
∴S△AOP＝S△AOD＝×S正方形ABCD＝，
∴S△POF＝S△AOP＝，
∴④错误，不符合题意．
⑤设ED＝x，EC＝2﹣x，
则＝，
即＝，
∴CQ＝，
∴AE＝EC+CQ＝2﹣x+＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE＝＝，
∴＝，
解得x＝或x＝﹣（舍）．
∴AE＝＝，
∵AD∥BQ，
∴∠DAE＝∠BQA，
∴sin∠DAE＝sin∠BQA＝＝，
∴AQ＝2AB＝4，
∴⑤正确，符合题意．
故答案为：①③⑤．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（π﹣3）0﹣2cs45°﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×﹣4+﹣1
＝1﹣﹣4+﹣1
＝﹣4．
18．（6分）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
【分析】先对括号里的分式通分，算出结果，然后再除法转化成乘法，与括号外的分式进行计算，最后把m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝×＝，
当m＝﹣2时，原式＝＝﹣．
19．（6分）学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得∠ABC＝45°，沿河岸到达C处，在C处测得∠ACB＝30，已知河宽为20米，求B、C之间的距离．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据特殊角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ACD＝30，
在Rt△ABD中，BD＝AD＝20米，
在Rt△ADC中，DC＝AD＝20（米），
∴BC＝BD+DC＝（20+20）米．
答：BC之间的距离为（20+20）米．
20．（8分）为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）王老师调查的学生人数是 50 ，请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1500名，请估计有多少学生选修乒乓球？
（3）现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率．
【分析】（1）由A有10人，占20%，即可求得该班的总人数，继而求得D的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）用1500×E的占比即可解决问题；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人都是篮球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）该班总人数＝10÷20%＝50（人）．
D人数＝50﹣10﹣4﹣16﹣8＝12（人），
条形图如图所示：
故答案为：50；补全条形图如图．
（2）1500×＝240（人），
答：估计有240学生选修乒乓球．
（3）画树状图为：A：篮球，B：足球，C：排球．
共有12种等可能的结果数，其中所选2人都是选修篮球有2种可能，
所以选出的2人至少有1人选修羽毛球概率＝．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
【分析】（1）求出∠ABC＝70°，由平分线的性质得∠ABD＝∠DBC＝35°，由AF⊥AB，得∠BAF＝90°，由三角形外角性质即可得出结果；
（2）易证△ADE≌△CDB（AAS），得出AE＝BC，易证∠E＝∠ABD，得出AB＝AE，则△ABC是等边三角形，得∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，
∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×＝．
22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值，即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝2，
∴sin∠DAB＝＝＝．
23．（9分）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？
（3）现学校通过调整校门口的入校通道，提高体温检测效率．经过调整，现在每分钟可以多通过2人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）令y＝0，得：﹣x2+16x+34＝0，解方程并作出取舍即可；
（3）设第x分钟时的排队等待人数为w人，则w＝y﹣2x，从而可得w关于x的二次函数，计算当x＝30时的w值，则可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+16x+34；
（2）令y＝0，得：﹣x2+16x+34＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34．；
∴从7：00开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校；
（3）设第x分钟时的排队等待人数为w人，
由题意得：w＝y﹣2x
＝﹣x2+14x+34，
当x＝30时，w＝4＞0．
∴7点30分时所有学生不能全部完成进校．
24．（10分）对于平面直角坐标系上的点S与图形Ω，给出如下定义：若图形Ω上有一点T，使得ST＝4，且以T为旋转中心，把点S顺时针旋转90°后的对应点S'也在图形Ω上，则称点S为图形Ω的“初心点”；
例如：如图1，给出点S（1，﹣4）与x轴，过点S作ST⊥x轴于点T，则可得点T的坐标为（1，0），此时ST＝4，且使点S绕点T顺时针旋转90°后得到的对应点S'（﹣3，0）也在x轴上，因此点S为x轴的“初心点”．
（1）如图2，已知点A（4，0），B（﹣5，0），C（﹣1，﹣4），D（0，4），E（5，﹣4），F（4，﹣4），G（1，4），H（﹣5，4）．
①点C，D，E，F，G，H中，为线段AB的“初心点”的是 C，D，F，H ；
②已知反比例函数，若该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，求a的取值范围；
（2）如图3，已知点N（n，0）为x轴上的一个动点，以N为圆心的⊙N半径长为，以P（3，0），Q（0，4）为端点的线段PQ上同时存在2个点为⊙N的“初心点”，求n的取值范围．
【分析】（1）①由新定义可以得到C，D，F，H四点符合题意；
②由①可知，AB的所有“初心点”都在线段DH和线段CF上，即该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，该反比例函数图象”与线段DH和线段CF只有一个公共点，分两种情况：（Ⅰ）当a＞0时，如图1所示，由①可知在第一象限内，反比例函数的图象上不存在线段AB的“初心点”，在第三象限内，当反比例函数的图象过点C（﹣1，﹣4），此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最大值，把点C（﹣1，﹣4）代入得a＝4，即a的取值范围是0＜a≤4；（Ⅱ）当a＜0时，如图2所示，在第二象限内，当反比例函数图象过点H（﹣5，4），此时a＝﹣20，且此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点“的最小值；此时a＝﹣16，且此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点“的最大值，即可求出a的取值范围是0＜a≤4或﹣20≤a＜﹣16；
（2）对⊙N的所有”初心点“的可能位置进行考虑：①⊙N内不存在⊙N的”初心点“；②对于⊙N上任意一点S，如图3，由⊙N半径为2可知，以弦ST＝4为直角边，直径SS′为斜边的△STS′一定是等腰直角三角形，因此⊙N上任意一点都可以是⊙N的”初心点“；③对于⊙N外一点S，若它是⊙N的”初心点“，则在⊙N上存在点T与点S′，使得ST＝S′T＝4，且∠STS′＝90°，如图4，过点N作NM⊥ST的延长线于点M，则MN＝MT＝NT＝2，SN＝，即点S在以点N为圆心，2为半径的圆上，⊙N的所有“初心点”，在以点N为圆心，分别以2和2为半径的两个同心圆上，从几个临界位置讨论，①当大⊙N与PQ相切时，如图5，切点为S，易证△NSP∽△QOP，求出n＝3﹣，当大⊙N右边经过点Q时，在Rt△QNO中，ON＝＝，此时n＝﹣2，得n的取值范围是3﹣＜n≤﹣2；②如图6，如图7，从小⊙N右边与PQ相切开始，到小⊙N右边经过点P止的过程中，线段PQ与小⊙N有2个公共点，因此线段PQ上同时存在2个点是⊙N的”初心点“，同①方法计算得出对应n的值得到对应n的取值范围是，3﹣＜n≤3﹣；③如图8，如9，从大⊙N左边过点Q开始，到小⊙N左边经过点P止的这段过程中，线段PQ与两个圆各有一个公共点，因此线段PQ上同时存在2个点为⊙N的”初心点“，同①方法计算得出对应n的值得到对应n的取值范围是，2≤n≤3+，即可求解．
【解答】解：（1）①C，D，F，H，
故答案为：C，D，F，H；
②由①可知，AB的所有“初心点”都在线段DH和线段CF上，
∴该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，
∴该反比例函数图象”与线段DH和线段CF只有一个公共点，
分两种情况：
（Ⅰ）当a＞0时，如图1所示，
由①可知在第一象限内，反比例函数的图象上不存在线段AB的“初心点”，
在第三象限内，当反比例函数的图象过点C（﹣1，﹣4），
此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最大值，
把点C（﹣1，﹣4）代入得a＝4，
∵该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，
∴a的取值范围是0＜a≤4；
（Ⅱ）当a＜0时，如图2所示，
在第二象限内，当反比例函数图象过点H（﹣5，4），
此时a＝﹣20，且此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点“的最小值；
在第四象限内，当反比例函数图象过点H（4，﹣4），
此时a＝﹣16，且此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点“的最大值，
∵反比例函数图象上只有一个点为线段AB的”初心点“，
∴a的取值范围是：﹣20≤a＜﹣16；
综上，a的取值范围是0＜a≤4或﹣20≤a＜﹣16；
（2）对⊙N的所有”初心点“的可能位置进行考虑：
①⊙N内不存在⊙N的”初心点“；
②对于⊙N上任意一点S，如图3，由⊙N半径为2可知，
以弦ST＝4为直角边，
直径SS′为斜边的△STS′一定是等腰直角三角形，
因此⊙N上任意一点都可以是⊙N的”初心点“；
③对于⊙N外一点S，若它是⊙N的”初心点“，
则在⊙N上存在点T与点S′，使得ST＝S′T＝4，且∠STS′＝90°，如图4，
过点N作NM⊥ST的延长线于点M，
则MN＝MT＝NT＝2，
∴SN＝，
即点S在以点N为圆心，2为半径的圆上，
综上，⊙N的所有“初心点”，在以点N为圆心，分别以2和2为半径的两个同心圆上，
因此，线段PQ上同时存在2个点为⊙N的”初心点“，就是线段PQ与两个同心圆有两个公共点，
从几个临界位置讨论，
①当大⊙N与PQ相切时，如图5，切点为S，
易证△NSP∽△QOP，
∴，
∴PN＝＝＝，
此时n＝3﹣；
当大⊙N右边经过点Q时，
在Rt△QNO中，ON＝＝，此时n＝﹣2，
∴对应n的取值范围是3﹣＜n≤﹣2；
②如图6，如图7，从小⊙N右边与PQ相切开始，到小⊙N右边经过点P止的过程中，线段PQ与小⊙N有2个公共点，
因此线段PQ上同时存在2个点是⊙N的”初心点“，
同①方法计算得出对应n的值得到对应n的取值范围是，3﹣＜n≤3﹣；
③如图8，如9，从大⊙N左边过点Q开始，到小⊙N左边经过点P止的这段过程中，线段PQ与两个圆各有一个公共点，
因此线段PQ上同时存在2个点为⊙N的”初心点“，
同①方法计算得出对应n的值得到对应n的取值范围是，2≤n≤3+，
∴综上，当线段PQ上同时存在2个点为⊙N的”初心点“时，n的取值范围：3﹣＜n≤﹣2或3﹣＜n≤3﹣或2≤n≤3+．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．
【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；
（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；
（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．
【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；
（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，
∴△ONA∽△OBN，
∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，
故c＝3a，
∵a+b+c＝1，
在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，
∴b2﹣4ac＝13，
即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，
∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；
（3）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），
将点D、C的坐标代入函数表达式得，
则k＝＝t﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点H（，），则HP＝HC，
即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3t2﹣18t+19＝0，
解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝t﹣4＝．
若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，
∴0＜k＜．