浙江省衢州市五校联盟2024~2025学年高二下册期中联考数学试题【附解析】

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1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3]
2. 函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
3. 已知复数，则（）
A. B. C. 1D.
4. 已知向量，若，则（）
A. 3B. C. D.
5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）
A. B. C. D.
6. 已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得弦长最小值为（）
A. B. C. D.
7. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（）
A B. C. D.
8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则（）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
10. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在异于两点的点使得，则离心率的值可以为（）
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
11. 甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（）
A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为
B. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为
C. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为
D. “甲先掷出点”的概率为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知且，若，则___________．
13. 的展开式中项的系数为___________．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，抛物线的准线经过双曲线的右焦点，点为双曲线与抛物线位于轴上方的交点，若，则的值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间，，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

（1）求的值；
（2）估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数；
（3）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望．
16 已知数列中，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）求证：．
18. 如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接．

（1）若，证明：平面BEF；
（2）若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为．
（i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN长度；若不存在，请说明理由；
（ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围．
19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4．
（1）求拋物线的方程；
（2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点，
（i）证明：直线轴；
（ii）过两点分别作抛物线切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围．