浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3]
【答案】B
【解析】由不等式，解得，即；
又由函数有意义，则满足，解得，即，
所以.
故选：B.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的最小正周期.故选：A.
3. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】法一：已知复数，
；
法二：；
故选：C.
4. 已知向量，若，则（ ）
A 3B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，，
因为，所以，
解得.
故选：D
5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为，母线为，则，解得，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积为，
故选：A.
6.已知直线(其中为常数),圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线，整理可得，
令，解得，故直线过定点，
又圆，则圆心，半径圆，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于.
故选：C.
7. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为的角平分线，，则，
因，则，即，
设，
则，
则在中利用余弦定理可得，，
得，
在中利用余弦定理可得，.
故选：B

8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，，
则，，，
则
，
同理可得：，
所以，
所以，
因为对任意，都存在，使得成立，
即，所以，即实数的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9.双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数,主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数,则（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】AB
【解析】对于A，的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以是奇函数，故B正确；
对于C，的定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，故C错误；
对于D，的定义域为，关于原点对称，
，
所以是偶函数，故D错误.
故选：AB.
10. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在异于两点的点使得，则离心率的值可以为（ ）
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
【答案】BCD
【解析】由题可设，则，
则，，
两式相减得：，则，
所以，
所以，
则椭圆的离心率，故离心率的值可以为0.85，0.9，0.95，
故选：BCD.
11. 甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（ ）
A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为
B. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为
C. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为
D. “甲先掷出点”的概率为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为，A对；
对于B选项，在甲掷出点后，乙下一次掷出点不受前面的影响，其概率为，B对；
对于C选项，设首次连续两次出现点的期望次数为，分两种情况分析：
若第一次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为，
若第一次掷出点，第二次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为，
若第一次、第二次都掷出点，则期望次数为，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点，
设其概率为，则，所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
数列的前项和为，
当时，，即“甲先掷出点”的概率为，D对.
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知且，若，则___________．
【答案】e
【解析】若，
则，所以.
故答案为：.
13. 的展开式中项的系数为___________．
【答案】56
【解析】的展开式中的通项公式为，
的展开式中项的系数为，
故答案为：．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，抛物线的准线经过双曲线的右焦点，点为双曲线与抛物线位于轴上方的交点，若，则的值为___________．
【答案】2
【解析】由双曲线的离心率，得，
所以，得，
所以双曲线，
因为抛物线的准线经过双曲线的右焦点，
所以，所以抛物线为，
由，得，解得或（不合题意舍去），
所以，得，
因为点位于轴上方，所以，
所以，
，
因为，所以，得，
所以.
故答案为：2

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间,，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

（1）求的值；
（2）估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数；
（3）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望．
解：（1）由，解得.
（2）因为，，
所以第百分位数为.
（3）从全校学生中随机选取人，则此人一周参加课后活动的时间在区间的概率为，
又的可能取值为，
由题意可得，
则，
，
则的分布列为：
的数学期望.
16. 已知数列中，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），
，
又，
是以为首项，为公比等比数列；
（2）由（1）可知，
.
（3）因为，
所以，
因为对任意恒成立，
则对任意恒成立，
，，
易知在单调递增，
时，取得最小值，最小值为，
，即实数的取值范围为.
17.已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）求证：．
解：（1）又，
则切线方程为，
当时，显然满足条件，
当时，的方程有两个相等的根，
，
综上：或．
（2）由于，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
.
令，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
.
当时，.
18. 如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接．

（1）若，证明：平面BEF；
（2）若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为．
（i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由；
（ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围．
解：（1）因为，
所以，则，.
所以，
又，所以平面BEF.
（2）（i）因为，所以平面，
又平面GEF，所以平面平面，
故直线GE在平面GEF射影为直线BE，
所以直线GE与平面所成角为，易知为BF中点，.
取ED中点，连接，
则且则平面平面GMN，
所以平面GMN，故点存在，故；
（ii）因为，所以，则，且，所以平面．
法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，

则，
，
设平面一个法向量为，
则，令，
故平面一个法向量．
又平面一个法向量，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为
法二：由（1）可知，平面平面GMN，要求平面与平面所成的平面角，即求平面GMN与平面所成的平面角，
记直线GN与EF交点为，取中点为T，则，故，
则平面平面，

因为平面，所以平面GMN，
过点作，垂足为，连接QF，则即所求二面角
其中，
当平面ABCD时，QO取最大值，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为
19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4．
（1）求拋物线的方程；
（2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点，
（i）证明：直线轴；
（ii）过两点分别作抛物线的切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围．
解：（1）由题意可知抛物线准线为，则到准线的距离为，
根据抛物线的定义可知，即
所以抛物线方程为：；
（2）（i）由（1）可知抛物线的焦点，准线方程为，
设，
所以直线AO的方程为，
由题意可得点，
设直线AB的方程为，
联立，整理可得，
所以，可得，
所以，
所以直线轴．
（ii）设，联立方程组
消去，整理得，所以，
所以，则，即，
令，得，
同理，
联立，
得交点的横坐标为，
面积的取值范围是．