四川省眉山市仁寿县第一中学校（北校区）2024~2025学年高一下册4月期中考试数学试题

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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D D D D A AD ABD
题号 11
答案 AC
12．
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组
求出定义域.
【详解】由函数 的定义域为 ，得 ，则 ，
在 中， ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
13．
【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得 a 的取值范围.
【详解】当 时， ，对称轴为直线 ，
∵函数 在区间 上单调递增，
∴ ，解得 ，
∴参数 a 的取值范围为 .
故答案为： .
14．36
【分析】把已知数据代入模型 ，求出对应的值即可．
【详解】根据题意，所给模型中 ，
则 2030 年底该省新能源汽车的保有量为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 2030 年底该地区新能源汽车的保有量约 36 万辆.
故答案为：36.
15．（1） ；（2）
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算求解；
（2）法一，利用诱导公式化简式子，根据商数关系弦化切求解；法二，由题可得
，代入所求式子得解；法三，由 ，可得 为第一象限角或第三象限角，
讨论分别求出 得解.
【详解】（1） ；
（2）解法一： ，则原式 ；
解法二： ， ，即 ，
则原式 ；
解法三： ， 为第一象限角或第三象限角，
①当 为第一象限角时， ， ，
则原式 ；
②当 为第三象限角时， ， ，
则原式 .
16．(1)
(2)当施用肥料为 4 千克时，该水果单株利润最大，最大利润是 240 元
【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式；
（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.
【详解】（1）由题意可得： ，
即 ，整理得 ．
（2）当 时， 为对称轴 开口向上的抛物线，
所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，当且仅当 即 取等号，
所以 ，即 ，
综上所述，当 时，该水果单株利润最大，最大利润是 240 元．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；
（2）将不等式等价化简得 ，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可；
（3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一
元二次不等式即可得解．
【详解】（1）由题意函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
即 ，整理得 恒成立，即 ．
所以 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 ，由函数单调递增得 ，所以原不等式的解集为 ；
（3）由（1）可得 ；
取任意 ，且 ，
则
，
因为 ，所以 ，又易知 ，
所以 ，即 ；
因此函数 为单调递减函数；
由 可得 ；
由 为单调递减可知 ，即 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .
18．(1) ，对称轴
(2)
【分析】（1）由图象求出 ，进而 ，利用整体代换法求解对称轴即
可；
（2）根据三角函数图象的平移变换可得 ，求出 在 的
值域即可.
【详解】（1）由图象可知， ，得 ，
又 ，所以 ，将点 代入 ，
得 ，即 ，所以 ，
即 ，又 ，故 ，
所以 ，令 ，得 ，
所以 的对称轴方程为 .
（2）先把 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的解析式为
，
再向下平移 1 个单位，得到的图象对应的解析式为 ，
，则 ，所以 ，
即 ，
因为 在 上有解，即 在 上有解，
所以 ，即 的取值范围为 .
19．（1）偶函数，证明见解析；（2）当 时，不等式解集为 ；当
时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ；（3）
【分析】（1）利用函数的奇偶性判断证明；
（2）由 ，分 ， ， 讨论求解；
（3）由 时，得到 ，令 ，将问题转化为存在 ，
有两个不等正根求解.
【详解】（1） 为偶函数，
证明：由已知得 ，又
所以 为偶函数.
（2） 即 ，
解方程 ，得 ，
当 时，即 ，此时不等式解集为 ；
当 时，即 ，不等式解集为 ；
当 时，即 ，不等式解集为 ；
综上，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
（3） 时，令 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则可将已知转化为存在 ， 有四个不等实根，
即关于 的方程 有四个不等实根，
令 ， 时一个 对应两个 ； 时一个 对应一个 ； 时无 与之对应；
则 有两个不等正根，则
即 ，且存在 ，使得不等式 成立，
令 ，函数单调递减， ，
由 可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参
数进行分类讨论：
（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则
可对判别式进行分类讨论；
（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的
情形，以便确定解集的形式；
（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．