天津市第五中学2024~2025学年高一下册期中数学试卷【附解析】

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祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2.本卷共10题，每小题3分，共30分．
一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上.
1. 若向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可.
【详解】对于A，B显然错误；
对于C：易知，两向量平行，故正确，
对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误，
故选：C
2. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误；
对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确；
对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，
即，不能得出，C错误；
对于D，若，则，D错误，
故选：B
3. 已知：，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：D.
4. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，由向量的加法和数乘，结合平面向量的基本定理计算即得.
【详解】如图，
故选：B.
5. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】在中，考查“”和“”的推理关系，看谁可以推出谁，即可得到答案.
【详解】在中，当时，由正弦函数的单调性可知，成立，
当时，不妨取，即不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
6. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解.
【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故选:D.
7. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中条件、完全平方公式与同角三角函数平方关系可求出即可判断选项A；根据的符号及的范围可判断，，再利用完全平方公式与同角三角函数的平方关系以及选项A中结论即可判断选项B；根据的值和的值可解出，的值，进而可求，利用诱导公式即可判断选项C；根据二倍角的正切公式即可判断选项D.
【详解】，
，
，故选项A错误；
，
又，，.
又，
∴，故选项C错误；
联立方程组，解得，∴.
∴，，故选项B错误，选项D正确.
故选：D.
8. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的平移变换求解即可.
【详解】函数向左平移个单位长度，
得到，
横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，
向上平移1个单位长度，得到，
纵坐标变为原来的3倍，得到，
则，又，
解得，
则.
故选：A.
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）

A. B.
C. 是函数的一条对称轴D. 是函数的对称中心
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，由图可知，求出周期，再利用周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知的图象过点，代入函数解析中可求出的值，对于C，根据图象进行判断，对于D，
【详解】对于A，由图可知，得，所以，得，所以A正确，
对于B，由选项可知，由图可知的图象过点，
所以，所以，得，
因为，所以，所以B错误，
对于C，由的图象可知是函数的一条对称轴，所以C正确，
对于D，由选项AB解析可知，由，
得，所以是函数的对称中心，所以D正确.
故选：B
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
①的最小正周期为；
②关于直线对称；
③值域为；
④在区间上恰有7个不同的实数根
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由即可判断①；由即可判断②；，分类讨论求其值域即可判断③，分类讨论令求其在上的根即可判断④.
【详解】对于①，因为，故①错误；
对于②，因为
，，
所以，所以的图象关于对称，故②正确；
对于③，因为，
当时，，
当时，
所以的值域为，故③正确；
对于④，当时，，则，
解得或，故，，，或，，
当时，，则（舍），
，此时在上有两个解，
综上，在区间上恰有7个不同的实数根，故④正确；
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡上.
11. ______.
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】，
故答案为：
12. 的终边在第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可.
【详解】因为，所以与终边相同，
故的终边在第三象限.
故答案为：三
13. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】，再利用两角差的正切公式化简计算即可.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
14. 已知平面向量，则在上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为，
所以在上的投影向量为
.
故答案为：
15. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是______.
【答案】
【解析】
【分析】由角的概念即可求解.
【详解】一个周角是，因此分针拨慢20分钟，
也即逆时针旋转．
故答案为：
16. 已知，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据角的范围及不等式的性质求得角与的范围，再根据同角三角函数的平方关系求出和的值，最后利用两角和的正弦公式即可求解.
【详解】，， ，，.
∵，，
∴，.
.
故答案为：.
17. 某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据，可知，由三角函数的性质求出函数的最小值即可.
【详解】，，
当，即时，
.
故答案为：.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线AC与BD的交点，为直线AE与DC的交点，若，，且，，则______，______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，即，
则，又，
则，所以；
又，
而，
所以
.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案直接答在答题卡上．
19. 已知向量满足.
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义以及向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（2）由题意可得，再由数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，
则，
.
【小问2详解】
由可得，即，
即，
所以，且，所以，
即与的夹角为.
20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角的大小.
（2）若的面积为，求的周长.
（3）若，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可；
（2）由三角形的面积公式，余弦定理求出各边求解周长即可；
（3）先求出，由二倍角公式与两角和的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理得：,
由于，所以，即，
又，所以，故.
【小问2详解】
由于，所以，
所以，所以.
由余弦定理得：，
故，所以的周长为：.
【小问3详解】
由，所以，
所以，
，
.
21. 已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标．
【答案】（1）；（2）；
（3）对称轴为，对称中心为.
【解析】
【分析】
（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；
（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.
【详解】（1）
，
最小正周期.
（2）当时，
即时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间为.
（3），即，
，即，
则函数的对称轴方程为，对称中心为.
22. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求
（1）的解析式；
（2）甲进舱10分钟后距离地面高度是多少米？
（3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式；
（2）代入，即可求解．
（3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
设摩天轮转动分钟时游客的高度为，
设函数解析式为，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以，
由题意可得，，
所以，解得，
当时，，即，可取，
所以，
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，
【小问3详解】
甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，乙距离地面的高度，
点相对于始终落后，
甲距离地面的高度为，
令，，
即，，
由，可得：，
经验证符合，
所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等.