四川省成都外国语学校2024~2025学年高二下册5月月考数学试题

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1-8 CBCD ABDA 9.BC 10.BCD 11.ABD 12. 13. 14.
8、【详解】设公切线与函数切于点，由，得，
所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，由，得，
令，则，所以在上递减，
所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A
11、【详解】A：，令，解得，
所以当，，为增函数；当，，为减函数；
所以；同理，，令，解得，
当，，为增函数；当，，为减函数；所以；所以，，使得成立，则，故A正确；
B：因为，即，
，因为在当，为减函数；又，
所以，即，故B正确；
C：由题可得函数的大致图象，设直线与两个函数图象交点的横坐标为，且，
则，由图象可得，
由选项A可知，在上单调递增，
所以，即，所以，
构造函数，求导可得，
令，可得，
所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，又，当时，，所以，即，故C错误；
D：设公共点为，此时直线与两函数曲线共有三个交点，不妨设，
且，由，
又，又当，为增函数，
所以，同理，可得，
又，又当，为减函数，
所以，所以，，所以，
即由等比中项的性质可得直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列，故D正确；故选：ABD.
14、【详解】当为奇数时，，所以，数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列，当为偶数时，，所以，数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，所以数列中的每一项均为整数，故数列为递增数列，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
因为，，
，，
因此，满足的正整数的所有取值集合为.故答案为：
15.(本小题满分13分) 【答案】(1)6；(2)60.
【详解】（1）由的展开式中所有的二项式系数之和为64，得，所以.
（2）由（1）知，展开式的通项公式为，
由，得，，所以展开式的常数项为．
16.(本小题满分15分)
【答案】(1)函数的单调增区间是，单调减区间是和(2)
【详解】（1）当时，，，
，
由，可得，由，可得或，
所以函数的单调增区间是，单调减区间是和；
（2）由题知在上恒成立；即在上恒成立，
令，易知当，取最小值，所以，
所以实数的取值范围是．
17.(本小题满分15分)
【答案】(1)(2)分布列见解析，(3) 分布列见解析,
【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，
则.
（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），
其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，，
的分布列为：
∴.
（3）由题意得，，

∴的分布列为：
∴.
18.(本小题满分17分)
【答案】(1) (2)(3)
【详解】（1）（1）因为，所以．
因为，所以，即．
又，所以是首项为7，公差为3的等差数列．
因为，①
所以当时，，②
①-②得也满足．
故的通项公式为的通项公式为．
（2）由（1）知，所以
（3）因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意恒成立，所以，
整理得，解得．
19.(本小题满分17分)
【答案】．(1)；(2)①；②证明见解析.
【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，所以.