山西省朔州市怀仁市大地、云洲职中2024~2025学年高一下册第四次月考数学试题【附解析】

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1.【答案】B
【解析】由和互为共轭复数，
所以可得，，， 所以，， 因此，.
故选：B.
2.【答案】A
【解析】若λb－a与a垂直，则(λb－a)·a＝0，即λ(a·b)－|a|2＝0，所以λ＝＝.
3.【答案】A
【解析】对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D不满足题意，故选A.
4.【答案】D
【解析】对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错误；
对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故B错误；
对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足m，n相交，故C错误；
对于D，由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D可以推出α∥β，故D正确．
5.【答案】B
【解析】设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，则R2＝2＋r2.
因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r.
所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2，
所以4πR2＝4π＝4×2πr2，所以2＋r2＝2r2，所以h2＝4r2，所以＝2.
6.【答案】A
【解析】取AD的中点G，连接EG，FG(图略)．因为E，F分别是AC，BD的中点，所以EG＝CD，FG＝AB，又CD＝2AB＝4，所以EG＝2FG＝2，∠FEG为EF与CD所成的角(或其补角)．因为EF⊥AB，所以EF⊥FG，所以∠FEG＝30°.故异面直线EF与CD所成的角为30°.
7.【答案】B
【解析】∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角．
在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1， 可得∠PDA＝45°.
即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.
8.【答案】C
【解析】在△ABC中，由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs⁡∠BAC，可得BC=12+22−2×1×2×12=3.
设△ABC外接圆半径为r，由正弦定理BCsin⁡∠BAC=2r，得r=1.
因为SA⊥平面ABC，球心O在棱SA的中垂面上，且球心O到平面ABC的距离d=12SA=32.
设球O半径为R，由R=r2+d2，可得R=12+(32)2=72.
则球O的表面积S=4πR2=4π×(72)2=7π. 故选C.
多选题
9.【答案】BD
【解析】复数的虚部不为0，故不能比较大小，所以A选项错误；
设，（），则，
，则，
所以，B选项正确；
若，（），当均不为0时，均虚部不为0，故不能比较大小，C选项错误；
设，（），则，
则，
，，，
所以，D选项正确.
故选：BD.
10.【答案】ABD
【解析】对于A选项，由题意，连接,连接,易得，
平面，平面，故平面，选项A正确；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，故，选项B正确；
对于C选项，由B选项可知，由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，
因，，所以，
所以，即与直线所成角为，选项C不正确；
对于D选项，由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，即与平面的距离为，选项D正确.
故选：ABD．
11.【答案】BD
【解析】选项A：因为在正方体中，,所以平面，又平面，动点是正方体表面上的一点，且满足，则平面；所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误；
选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示，
当点在弧上时，连接，所以，又因为在正方体中平面，则在等腰中，，即与所成的角为，
则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，，，
所以点的轨迹长度为，B说法正确；
选项C：当点在平面时，，
易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误；
选项D：取的中点分别为，
连接，如图所示，
因为，平面，平面，所以平面，
，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又因为，，，
所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段，
在中，，，
则， 所以是以为直角的直角三角形，
所以，即线段长度最大值为，D说法正确；
故选：BD.
填空题
12.【答案】菱形 24cm2
【解析】如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2cm，
所以OC＝＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形OABC是菱形．
S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2)．
13.【答案】2
【解析】分别取AD，AB，CD的中点E，M，N，连接ME，NE，MN，
则ME=NE=1，ME//BD，NE//AC， 又∵AC⊥BD，∴ME⊥NE即∠MEN=π2，
∴MN=ME2+NE2=2. 故答案为：2.
14.【答案】12
【解析】由点M在边BC上，得B，M，C三点共线，又AM→=xAB→+3yAC→，
因此x+3y=1，
3x+1y=(3x+1y)(x+3y)=6+xy+9yx≥6+2xy⋅9yx=12，当且仅当x=3y=12时取等号，
所以当x=12，y=16时，3x+1y取得最小值12. 故答案为：12.
解答题
15.【答案】解 由题意，复数，则，
(1)若为纯虚数，则有，解得：；
(2)根据Z对应的点在上，则有，解得：．
16.【答案】解 (1)因为b cs A＝(2c＋a)cs (π－B)，
所以b cs A＝(2c＋a)(－cs B).
由正弦定理可得sin B cs A＝(－2sin C－sin A)cs B，
即sin (A＋B)＝－2sin C cs B， sin C＝－2sin C cs B.
又角C为△ABC的内角，所以sin C>0，
所以cs B＝－. 又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由S△ABC＝ac sin B＝，得ac＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac cs B＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
所以a＋c＝2，所以△ABC的周长为4＋2.
17.【答案】解：（1）由题易知三棱柱为直三棱柱，故侧面，，均为矩形．又，故底面，都是直角三角形。因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为．
（2）连接交于点，连接，由(1)知侧面为矩形
所以为的中点．因为为的中点，所以．
因为平面，平面，故平面．

18.【答案】解 (1)因为cs C＋cs Acs B＝2sin Acs B，
所以－cs(A＋B)＋cs Acs B＝2sin Acs B，
即sin Asin B＝2sin Acs B，
因为sin A≠0，所以sin B＝2cs B>0，
又因为sin2B＋cs2B＝1，解得cs B＝.
(2)∵a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac
＝a2＋(2－a)2－a(2－a)＝(a－1)2＋.
∵0