山东省青岛第一中学2024~2025学年高二下册4月期中考试数学试题【附解析】

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2025.4
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分，考试时间120分钟
注意事项：（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明.）
试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效，考试结束时只交答题卡.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2或6
2. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 是的一个零点B. 和都是的极大值点
C. 的单调递增区间是D. 的单调递减区间是
3. 已知随机变量的分布列为，则（ ）
A B. C. D.
4. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 以上都有可能
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 各项系数之和为0B. 展开式各二项式系数的和等于
C. 展开式共有7项D. 展开式中常数项为20
10. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．
若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A. y与x的样本相关系数
B.
C. 回归直线方程经过点
D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
B. 当时，在上是增函数
C. 若在上为减函数，则
D. 当时，若函数有且只有一个零点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______.
13. 对如图所示的5个格子进行染色，每个格子均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为______．
14. 已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知函数有极小值．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最大值和最小值．
16. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表:
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
（2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.
附:
17. 2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立．
（1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（i）为多少？
（ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率．
（2）在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？
18. 已知函数．
（1）若，求证：．
（2）讨论函数的极值；
（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时.
（1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒?
（2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率.
（3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求.
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
性别
比赛项目
合计
乒乓球组
羽毛球组
男生
50
25
75
女生
35
40
75
合计
85
65
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828