内蒙古赤峰二中2024~2025学年高一下册第一次月考数学试题【附解析】

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一、单选题（每题5分，共40分）
1. 若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知角的终边过点，则可求，再利诱导公式即可.
【详解】角的终边过点，则，
则.
故选：A.
2. 已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（ ）
A. 2 cmB. 4 cmC. 2sin1 cmD. 4sin1 cm
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知建立方程组求出r的值，再利用正弦函数化简即可求解．
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，
由已知得，解得，则弦长（cm）．
故选：D
3. 已知是的中线，在直线上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为是的中线，
所以.
又因为，
所以.
所以.
故选：C.
4. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为.要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ）
A. 个单位长度B. 个单位长度
C. 个单位长度D. 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】由周期求得，再结合平移规则即可求解.
【详解】由题意可知的最小正周期为，
所以，
即，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度；
故选：A
5. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可确定选项.
【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到.
当时，，
由得，，函数的对称中心为，
令得对称中心为.
综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆弧所在圆心为O，半径为r，连接，由题意得可得，且，根据三角函数定义，可得的值，根据二倍角公式，即可得答案.
【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知，
设圆的半径为r，依题意，有，即，
所以
所以．
故选：A
7 已知，，，，则（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.
【详解】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.
故选：C
8. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 下列关于向量的命题正确的是（ ）
A. 向量共线的充要条件是存在实数，使得成立
B. 非零向量，满足，则
C. 对任意向量，恒成立
D. 在中，C为边上一点，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平面向量的共线向量定理，向量的三角不等式，以及向量的运算即可判断各选项的真假．
【详解】对于A，当，此时向量共线，但是不存在实数，使得成立，A错误；
对于B，因为非零向量，所以根据共线向量的定义可知，若，则，B正确；
对于C，根据向量的三角不等式，恒成立，C错误；
对于D，因为，所以，即，
解得：，D正确．
故选：BD．
10. 已知向量，，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D错误.
【详解】A.∵，，∴，
∵，，∴，故，选项A正确.
B.∵，，∴，
∵，∴，解得，故，选项B正确.
C.由题意得，，，
∴在方向上的投影向量为，选项C错误.
D.由题意得，，，
∵向量与向量的夹角为锐角，
∴，解得，
当向量与向量共线时，由得，
此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意，
∴的取值范围是，选项D错误.
故选：AB.
11. 已知的外接圆的圆心为O，角，下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则2
B. 若点是内的动点(不含边界)，且，则实数的取值范围是
C. 若点是内的动点(不含边界)，且，则
D. 若，，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据投影向量分析求解即可；对于B：根据向量线性运算的结论直接可得结果；对于C：设，整理可得，进而分析面积关系；对于D：整理可得，平方整理可得，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】对于选项A：取的中点，连接，则，
可知在向量方向上的投影向量为，
所以，故A正确；
对于选项B：若点是内的动点(不含边界)，
则，且，
又因为，则，解得，
所以实数的取值范围是，故B正确；
对于选项C：设，
因为，可得，
即，可得，
则，所以，故C错误；
对于选项D：设的外接圆半径为，
因为，则，可得，
又因为，
可得，
则，
即，
则，
整理可得，解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（每题6分，共18分）
12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
则向量，夹角的余弦值为
故答案为：.
13. 已知向量、满足，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量垂直可得出，可求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，则，可得，
所以，.
故答案为：.
14. 已知函数，若为奇函数，为偶函数，且在上至少有2个实根，至多有3个实根，则函数的对称轴为______（写出一个即可），正整数的所有可能取值之和为______．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 51
【解析】
【分析】由函数为偶函数即可得其一条对称轴；结合正弦性函数的图象及其性质可得正整数的范围，即可得其所有取值可能，即可得其所有可能取值之和.
【详解】若为奇函数，则关于对称，
为偶函数，则关于对称，
所以，，，
所以，，，
因为，所，所以，，
因为，则，作出图象如图，
因为至少2根，至多3根，
所以，而，，
所以的可能取值为13，17，21，
所以正整数所有可能取值之和为.

故答案为：（答案不唯一）；51.
四、解答题
15. （1）设向量，求；
（2）已知向量不共线，且．若，则的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）运用向量的线性坐标运算即可；
（2）根据向量共线定理可解.
【详解】（1）；
（2）由于，所以存在，使得，
即，
所以，解得．
16. 已知是第二象限角.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果；
（2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果.
【小问1详解】
∵为第二象限角，∴
∴
.
【小问2详解】
由，得，
∴，
所以
.
17. 已知向量，，且
（1）求的最小正周期；
（2）求的最小值及相应的取值集合；
（3）求的对称轴及单调递减区间.
【答案】（1）最小周期是；（2）的最小值为，相应的的取值集合为；（3）图象的对称轴，，的单调递减区间为，.
【解析】
【分析】(1)由向量的数量积的坐标公式结合三角恒等变换化简得出的解析式，从而得出答案.
(2)由（1）得，根据正弦函数的图像性质可得答案.
(3)根据正弦函数的图像性质可得的对称轴及单调递减区间.
详解】解：由
（1）的最小周期是
（2）当时，的最小值为.
此时，即，.
∴的最小值为，相应的的取值集合为
（3）图象对称轴满足，
即，即，为图象的对称轴
当，.
即，
∴的单调递减区间为，
18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）

（1）求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
（2）若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件依次求得，从而求得.
（2）利用勾股定理，结合图象求得水下时间.
【小问1详解】
已知水轮半径为米，水轮圆心距离水面米.根据的性质，为振幅，为平衡位置的值.则，.
因为水轮每转动圈，根据周期的定义，.又因为，
所以，此时函数为.
当时，点从水面浮现，即.将，代入中，得到.
化简可得，又因为，所以.
综上，.
【小问2详解】
若水面下降，则新的水面高度为，
如下图所示，则，
此时三角形是等边三角形，所以，
所以点在水面下方的时间为.

19. 如图，点P，Q分别是矩形ABCD边DC，BC上的两点，，．

（1）若，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得；
（2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得
（3）建立平面直角坐标系后，将最大转化为最大，借助计算即可得.
【小问1详解】
由，，故，，则，
，
由，故；
【小问2详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，

设，，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即最小值为；
【小问3详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即，
假设存在点H，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在，且.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是引入变量，结合建系法，再通过两角差的正切公式再结合基本不等式求出角度最大情况.