江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下册5月模拟考试数学试卷【附解析】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则的模为（ ）
01
2．下列命题的否定是假命题的为（ ）
；
所有可以被5整除的整数，个位数字都是0；
，且；
存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
3．已知函数在处取得极值则（ ）．
2 或2
4．如图，半径为1的圆与直线相切于点，圆沿着直线滚动．当圆滚动到圆时，圆与直线相切于点，点运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为（ ）
1
5．已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ）69 88 89 96
6．已知钝角，，则的值为 （ ）
7．在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ）

8．过点的动直线与圆于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ）
24
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（ ）
的面积为定值
使得
的取值范围是
的取值范围是
10.下列说法中正确的是（ ）
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
若随机变量满足，则
随机变量，且，若，则的最小值为
已知一组样本数据中关于的非线性回归方程为，
则
11．已知一组函数，则下列说法正确的是（ ）

恒成立
在上单调递增，在 上单调递减
在上单调递减，在 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
13．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，
，则数列的通项公式是____________．
14．已知且，若，且，则正整数的值为
______.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，
,分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
16．（15分）某学校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合每日统计的运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：
（1）完善列联表并说明：是否有的把握认为获得 “运动达人”称号与性别有关？
（2）从全校“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将特训的人中男生人数记为，求的分布列与均值．
参考公式：
17．（15分）已知数列满足，其中且，为常数.
（1）若求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下记，且数列前项和为，若存在，使得
对任意的都成立，求实数的取值范围.
18．（17分）已知函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
19．（17分）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．
（1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
（2）射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点，且，求椭圆的方程；
（3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，求数列的通项公式运动达人
参与者
合计
男生
70
女生
80
合计
80
200
10.828