江苏省南京市励志高级中学2024~2025学年高一下册4月期中数学试题【附解析】

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（时间：120分钟 满分：150分）
考生注意
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集为，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
4. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 1B. 6C. 5D. 1或5
6. 已知向量，若，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ）
A. B. C. D.
11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若向量满足，且夹角为，则__________.
13. 在中，内角所对边分别为，，则______．
14. 已知，且满足，，则______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设，，，为平面内的四点，且，，.
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数的值.
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）若时，求的面积．
17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
18. 已知锐角满足．
（1）求的值；
（2）求值．
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”.
（1）若，证明：
（2）已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：.
（3）在中，线段为两条内角平分线，点分别在边上，，且，求.