湖南省常德市临澧县第一中学2024~2025学年高一下册4月期中考试数学试题【附解析】

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时量：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集、补集的运算即可求解；
【详解】解：因为集合，
所以或，
又，
.
故选：C
2. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】∵ ，
∴.
故选：A.
3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可.
【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选：C.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.
【详解】由换底公式得，，，
所以.
故选：D.
5. 如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ）
A. 与平行B. 与为异面直线
C. 与成60°角D. 与垂直
【答案】A
【解析】
【分析】还原成正四面体，逐项判断即可.
【详解】还原成正四面体，
如图，由异面直线判定定理：
易知与为异面直线，A错，
与为异面直线，B对，
易知：，又，
所以与成角，C对，
因为正四面体对棱垂直，所以，
所以，D对，
故选：A
6. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解.
【详解】因为，
所以，且，
所以由余弦定理得，整理得，又，
所以，故是等边三角形.
故选：B.
7. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选:D.
8. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得等边三角形内切圆的半径，也即求得正三棱柱内切球的半径，根据向量运算求得正确答案.
【详解】设等边三角形内切圆的半径为，
则，
则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为.
设等边三角形外接圆半径为，则，
所以，设是等边三角形的中心，是的中点，
连接，则，，
是球表面上一点，则
，
，（同向是为，反向时为），
所以，所以的取值范围是.
故选：B
【点睛】思路点睛:通过内切圆求内切球：首先通过等边三角形的内切圆半径，求得正三棱柱的内切球半径，这是确定球的大小的关键步骤.
利用向量运算确定数量积的取值范围：通过设定球心和球面上一点之间的关系，转化后利用向量运算确定数量积的取值范围，确保所有可能情况都得到考虑.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D.
【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误；
若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得，
即，故B正确；
若，则，得，故C正确；
若，则，得，故D错误.
故选：BC.
10. 关于正方体有如下四个说法，其中结论正确的是（ ）
A. 若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
B. 若点在线段（含端点）上运动时，直线与一定垂直
C. 若点在线段（含端点）上运动时，直线与所成角的范围为
D. 若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线
【答案】ABD
【解析】
【分析】点P在线段 (含端点)上运动，可以证明平面，从而可得P到平面的距离不变，故可判断A，对于BCD，以点D为原点，以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断即可，
【详解】
对于A，由平面，平面，故平面，
则P到平面的距离不变，
又的面积为定值，可知点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变，故A正确；
设正方体棱长为1，
以点D为原点，以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设，
又点在线段（含端点）上运动，
所以，
则，
所以，故B对；
因为，
设直线与所成角为，
，
因为，所以，
即，故C错；
因为点是平面上到点和距离相等，所以，
设，
所以，即平面，
又点P在平面上，
所以点P的轨迹是平面与平面的交线，故D对；
故选：ABD
11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为的垂心，且，则
B. 若，则的面积与的面积之比为
C. 若，则动点的轨迹经过的外心
D. 若锐角三角形且外心为，且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D；
【详解】A选项，因为为的垂心，所以，
则，故A正确；
B选项，设中点为，中点为，
，即，
所以点为中位线靠近点的三等分点，
所以，故B正确；
C选项，设中点为，则，
结合题设，
所以，所以，
又的中点为，所以在的中垂线上，
所以动点的轨迹经过的外心，故C正确；
对于D，为锐角的外心，取AB中点F，则，如图，

由，，得，而，
于是，即，即，则点共线，
因此垂直平分边，有，没有条件确保有成立，D错误；
故选：ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求.
【详解】由得，
①，②，
即，，
∴
∵，
∴.
故答案为：.
13. 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶900后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=___________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合正弦定理求出，然后结合锐角三角函数定义，求出．
【详解】解：由题意得，，，
所以，
在中，由正弦定理，得，
所以，所以，
因为，所以，
所以．
故答案为：．
14. 如图，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4，BC=2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为___________.
【答案】6
【解析】
【分析】将几何体分割成直三棱柱和四棱锥，分别计算直三棱柱和四棱锥的体积即可求解.
【详解】过C作截面CMN，截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD，如下图：
由题意易知，，，
从而直三棱柱ABE-MCN的体积为，
又因为，故，
所以，
从而四棱锥C-MNFD的体积为,
所以所求几何体的体积.
故答案为：6.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.
【答案】（1）或3：
（2）1或
（3）
【解析】
分析】（1）利用即可；
（2）利用得出值，再利用求模公式；
（3）利用且不共线即可.
【小问1详解】
若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
【小问2详解】
若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
【小问3详解】
因与夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
16. 设函数，，，且.
（1）若的解集为，求函数的值域；
（2）若，且，试用含的代数式表示，并求此时的解集.
【答案】（1）；（2），解集答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据解集可求的解析式，再根据基本不等式可求的值域.
（2）就，，分类讨论后可得的解集.
【详解】解：由，得，所以.
（1）由的解集为，可知和1是方程的两根，
所以解得，，所以.
所以
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立，
故的值域为.
（2）由，得，即，所以.
当时，，得的解集为；
当时，.
又，所以当时，，此时的解集为.
当时，的解集为.
综上：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，的解集为.
【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．
17. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）若，求的外接圆的周长；
（2）若为锐角三角形，且，
①求角的取值范围；
②求面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解.
（2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
而，则，，又，
于是，，因此，设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以的外接圆的周长为.
【小问2详解】
①由为锐角三角形，得，又，
则，解得，所以角的取值范围是；
②的面积，
由正弦定理得．
由，得，则，因此，
所以面积的取值范围是.
18. 如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设平面交平面于直线，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得;
(2) 连接，证明平面平面，则易得结论.
(3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得
【小问1详解】
连接，，，，
四边形是平行四边形，
为的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
平面．
【小问2详解】
连接，
分别是的中点，，
又平面平面，
平面.
又是的中点，是的中点，
平面平面，
平面．
又在平面内相交于点H，所以平面平面，
又平面，
平面．
小问3详解】
因为，平面平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面直线，
所以；
19. 点是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．
（1）若是的角的对边，且是角的平分线，，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；
（3）若是的角的对边，且，由点对施以视角运算，，求的最小值．
（4）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：．
【答案】（1）
（2）-3 （3）36
（4）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用点对施以视角运算的定义式，结合角平分线和已知边的关系求解即可；
（2）先根据已知线段长度和正方体性质求出相关角的三角函数值，再利用两角差公式求出的正弦值，最后根据给定的比例关系求出的值．
（3）本题先根据交比大于 0 及角的正弦定理得出角平分线，算出．再由三角形面积关系得到bc与的等式，进而推出．然后用基本不等式求最小值，最后根据等号成立条件算出、的值．
（4）先根据正弦定理分别在和中得到边与角的关系，再利用角的关系化简，同理得到，最后计算它们的乘积．
【小问1详解】
因为是角的平分线，所以且点在线段上，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
如图，因为，所以，
在正方体中，，
，，
由
则；
【小问3详解】
因为，所以，则，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为36．
【小问4详解】
如图，因为是的等分点，
所以，．
在中，由正弦定理可得，
则．
在中，同理可得．
因为，所以，
则．
同理可得．
故.