湖南省常德市临澧县第一中学2024~2025学年高二下册4月期中考试数学试题【附解析】

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（命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2 已知随机变量，，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
3. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A. 50B. 100C. 400D. 500
4. 已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（ ）
A. 5B. 8C. D.
5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ）
A 若，则B.
C. 若，则D. 的最大值为
10. 在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 存在，使得D. 存在，使得平面
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为__________.
13. 一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________.
14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
16 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；
（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，，，，侧面为矩形．

（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求二面角的余弦值．
18. 在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值.
19. 若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题：
（1）一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上概率；
（2）如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数．
①若，求；
②若（为整数）表示抛掷硬币次时恰有2次正面朝上的概率，证明：．
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